tìm m để từ A kẻ được 2 tiếp tuyến vuông góc với nhau A(1;-1) (C): y= $\frac{x^{2}+x+m}{x+1}$

Đáp án:

$m = 1$

Giải thích các bước giải:

Gọi $d$ là đường thẳng đi qua $A(1;-1)$

$\Rightarrow d: y = k(x-1)-1$

Phương trình hoành độ giao điểm giữa $d$ và $(C)$

$\quad k(x-1) – 1 =\dfrac{x^2 + x + m}{x+1}$

$\Leftrightarrow (k-1)x^2 – 2x – k – 1 – m = 0\qquad (*)$

$d$ là tiếp tuyến của $(C)$

$\Leftrightarrow (*)$ có nghiệm kép

$\Leftrightarrow \begin{cases}k \ne 1\\\Delta_{(*)}’ = 0\end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases}k \ne 1\\1 + (k-1)(k+m+1)= 0\end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases}k \ne 1\\k^2 + mk – m = 0\qquad (**)\end{cases}$

Từ $A$ kẻ được hai tiếp tuyến vuông góc nhau

$\Leftrightarrow (**)$ có hai nghiệm $k_1,\ k_2$ sao cho $k_1.k_2 =-1$

$\Leftrightarrow \begin{cases}\Delta_{(**)} > 0\\P = -1\end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases}m^2 + 4m > 0\\- m = -1\end{cases}$

$\Leftrightarrow m = 1$

Vậy $m = 1$