Tìm M thuộc d kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến với (C) y=$x^{3}$-6$x^{2}$ +9x-1; d:x=2 29/07/2021 Bởi Mary Tìm M thuộc d kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến với (C) y=$x^{3}$-6$x^{2}$ +9x-1; d:x=2
Đáp án: Từ $M$ bất kì thuộc $d: x = 2$ kẻ được duy nhất một tiếp tuyến đến $(C)$ Giải thích các bước giải: Gọi $M(2;b)\in d$ Phương trình đường thẳng đi qua $M(2;b)$ có dạng: $\Delta: y = k(x – 2) + b$ với $k$ là hệ số góc của $\Delta$ Khi đó, $\Delta$ là tiếp tuyến của $(C)$ $\Leftrightarrow \begin{cases}k = y’\\\exists N = \Delta \cap (C)\end{cases}$ $\Leftrightarrow \begin{cases}k = 3x^2 – 12x + 9\\x^3 – 6x^2 + 9x – 1 = (3x^2 – 12x + 9)(x-2) + b\quad \text{có nghiệm}\end{cases}$ $\Leftrightarrow -2x^3 + 12x^2 – 24x + 17 = b\quad (*)\ \ \ \text{có nghiệm}$ Xét $g(x) = -2x^3 + 12x^2 – 24x + 17$ $\Rightarrow g'(x) = – 6x^2 + 24x – 24 \leqslant 0\quad \forall x\in\Bbb R$ $\Rightarrow g(x)$ nghịch biến trên $\Bbb R$ $\Rightarrow (*)$ có nghiệm duy nhất $\Rightarrow$ có đúng một tiếp tuyến kẻ từ $M\in d: x = 2$ đến $(C)$ Bình luận
Đáp án:
Từ $M$ bất kì thuộc $d: x = 2$ kẻ được duy nhất một tiếp tuyến đến $(C)$
Giải thích các bước giải:
Gọi $M(2;b)\in d$
Phương trình đường thẳng đi qua $M(2;b)$ có dạng:
$\Delta: y = k(x – 2) + b$ với $k$ là hệ số góc của $\Delta$
Khi đó, $\Delta$ là tiếp tuyến của $(C)$
$\Leftrightarrow \begin{cases}k = y’\\\exists N = \Delta \cap (C)\end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases}k = 3x^2 – 12x + 9\\x^3 – 6x^2 + 9x – 1 = (3x^2 – 12x + 9)(x-2) + b\quad \text{có nghiệm}\end{cases}$
$\Leftrightarrow -2x^3 + 12x^2 – 24x + 17 = b\quad (*)\ \ \ \text{có nghiệm}$
Xét $g(x) = -2x^3 + 12x^2 – 24x + 17$
$\Rightarrow g'(x) = – 6x^2 + 24x – 24 \leqslant 0\quad \forall x\in\Bbb R$
$\Rightarrow g(x)$ nghịch biến trên $\Bbb R$
$\Rightarrow (*)$ có nghiệm duy nhất
$\Rightarrow$ có đúng một tiếp tuyến kẻ từ $M\in d: x = 2$ đến $(C)$