Tìm một đa thức `P(x)` bậc `3` triệt tiêu khi `x=-1` và khi chia `P(x)` cho `x-1, x+2, x+3` thì số dư luôn luôn bằng `8`.
Tìm một đa thức `P(x)` bậc `3` triệt tiêu khi `x=-1` và khi chia `P(x)` cho `x-1, x+2, x+3` thì số dư luôn luôn bằng `8`.
Đáp án:
`P(x)=2x^3+8x^2+2x-4`
Giải thích các bước giải:
Đa thức $P(x)$ có bậc là $3$ nên có dạng:
$P(x)=ax^3+bx^2+cx+d\ (a\ne 0)$
Vì $P(x)$ triệt tiêu khi $x=-1$
`<=> P(-1)=0`
`<=>a.(-1)^3+b.(-1)^2+c.(-1)+d=0`
`<=>-a+b-c+d=0` $\ (1)$
$\\$
$P(x)$ chia $(x-1)$ dư $8$:
`=>P(1)=8`
`<=>a+b+c+d=8` $\ (2)$
Lấy $(1)+(2)$ vế theo vế:
`=>2b+2d=8`
`=>b+d=4=>d=4-b`
$\\$
Thay `b+d=4` vào $(2)$
`=>a+c+4=8=>a+c=4=>c=4-a`
$\\$
Vì $P(x)$ chia $(x+2);(x+3)$ đều dư $8$
`=>`$\begin{cases}P(-2)=8\\P(-3)=8\end{cases}$
`<=>`$\begin{cases}a.(-2)^3+b.(-2)^2+c (-2)+d=8\\a.(-3)^3+b.(-3)^2+c.(-3)+d=8\end{cases}$
`<=>`$\begin{cases}-8a+4b-2.(4-a)+(4-b)=8\\-27a+9b-3.(4-a)+(4-b)=8\end{cases}$
`<=>`$\begin{cases}-6a+3b=12\\-24a+8b=16\end{cases}$
`<=>`$\begin{cases}-2a+b=4\\-3a+b=2\end{cases}$
`<=>`$\begin{cases}-2a+3a+2=4\\b=3a+2\end{cases}$
`<=>`$\begin{cases}a=2\\b=8\end{cases}$
$\\$
Với `a=2=>c=4-a=2`
`\qquad b=8=>d=4-b=-4`
Vậy `P(x)=2x^3+8x^2+2x-4`