Toán Tìm `n` để: `n^2+3n+7` là số chính phương 14/07/2021 By Reagan Tìm `n` để: `n^2+3n+7` là số chính phương
Đáp án: Đặt `A = n^2 + 3n + 7 = k^2` `(k,n ∈ N)` `=> 4A = 4n^2 + 12n + 28` `= 4n^2 + 12n + 9 + 19` `= (2n + 3)^2 + 19` `=> (2n + 3)^2 + 19 = 4k^2` `=> 4k^2 – (2n + 3)^2 = 19` `=> (2k – 2n – 3)(2k + 2n + 3) = 19` Do `k,n ∈ N` `=> 2k + 2n + 3 > 2k – 2n – 3` th1 : `2k + 2n + 3 = 19` `2k – 2n – 3 = 1` `=> 2n + 3 = (19 – 1)/2 = 9` `=> 2n = 6` `=> n = 3` th2 : `2k + 2n + 3 = -1` `2k – 2n – 3 = -19` `=> 2n + 3 = [(-1) – (-19)]/2 = 9` `=> n = 3` Vậy `n = 3` Giải thích các bước giải: Trả lời
Vì n2 + 2n + 7 là số chính phương nên đặt n2 + 2n + 7 = k2 (k thuộc N) ⇔ (n2 + 2n + 1) + 6 = k2 ⇔ k2 – (n+1)2 = 6 ⇔(k+n+1)(k-n-1) =6 Nhận xét thấy k+n+1 > k-n-1 và chúng là những số nguyên dương, nên ta có thể viết : (k+n+1)(k-n-1) = 6.1 + Với k+n+1 = 6 thì k =5 Thay vào ta có : k – n – 1 = 1 5- n – 1 =1Suy ra n = 3 Trả lời
Đáp án:
Đặt `A = n^2 + 3n + 7 = k^2` `(k,n ∈ N)`
`=> 4A = 4n^2 + 12n + 28`
`= 4n^2 + 12n + 9 + 19`
`= (2n + 3)^2 + 19`
`=> (2n + 3)^2 + 19 = 4k^2`
`=> 4k^2 – (2n + 3)^2 = 19`
`=> (2k – 2n – 3)(2k + 2n + 3) = 19`
Do `k,n ∈ N`
`=> 2k + 2n + 3 > 2k – 2n – 3`
th1 :
`2k + 2n + 3 = 19`
`2k – 2n – 3 = 1`
`=> 2n + 3 = (19 – 1)/2 = 9`
`=> 2n = 6`
`=> n = 3`
th2 :
`2k + 2n + 3 = -1`
`2k – 2n – 3 = -19`
`=> 2n + 3 = [(-1) – (-19)]/2 = 9`
`=> n = 3`
Vậy `n = 3`
Giải thích các bước giải:
Vì n2 + 2n + 7 là số chính phương nên đặt n2 + 2n + 7 = k2 (k thuộc N)
⇔ (n2 + 2n + 1) + 6 = k2
⇔ k2 – (n+1)2 = 6
⇔(k+n+1)(k-n-1) =6
Nhận xét thấy k+n+1 > k-n-1 và chúng là những số nguyên dương, nên ta có thể viết : (k+n+1)(k-n-1) = 6.1
+ Với k+n+1 = 6 thì k =5
Thay vào ta có : k – n – 1 = 1
5- n – 1 =1Suy ra n = 3