Tìm n ∈ N* để P = $n^{4}$ – 27$n^{2}$ + 121 nguyên tố. 07/08/2021 Bởi Rylee Tìm n ∈ N* để P = $n^{4}$ – 27$n^{2}$ + 121 nguyên tố.
Ta có `P` = `n^4` – `27n^2` + 121 ⇒ `P` = `(n^2)^2` + `2.n^2.11` + `11^2` – `49n^2` ⇒ `P` = `(n^2 + 11)^2` – `(7n)^2` ⇒ `P` = `(n^2 + 11 – 7n)` . `(n^2 +11 + 7n)` Vì `n` `∈` `N` ⇒ `n^2` + 11 + 7n > 11 *TH1 : `n^2` – 7n + 11 < 0 ⇒ P < 0( `+` nhân `-` ra `-`) ⇒TH1(loại) *TH2 : `n^2` – 7n + 11 = 0 ⇒ `P` = 0 ⇒TH2 (loại) *TH3: `n^2` – 7n + 11 > 1 ⇒TH3 loại(vì `P`>1) Kết hợp cả 3 TH trên ⇒ đẻ `P` là SNT thì `n^2` – `7n` + 11 = 1 ⇔ `n^2` – `7n` + 10 = 0 ⇔ `n^2` – 2n – 5n + 10 = 0 ⇔ `(n-2).(n-5)` = 0 ⇔ `n` – 2 = 0 `n` – 5 = 0 ⇔ `n` = 2 `n` = 5 Bình luận
Ta có `P` = `n^4` – `27n^2` + 121
⇒ `P` = `(n^2)^2` + `2.n^2.11` + `11^2` – `49n^2`
⇒ `P` = `(n^2 + 11)^2` – `(7n)^2`
⇒ `P` = `(n^2 + 11 – 7n)` . `(n^2 +11 + 7n)`
Vì `n` `∈` `N` ⇒ `n^2` + 11 + 7n > 11
*TH1 : `n^2` – 7n + 11 < 0
⇒ P < 0( `+` nhân `-` ra `-`)
⇒TH1(loại)
*TH2 : `n^2` – 7n + 11 = 0
⇒ `P` = 0
⇒TH2 (loại)
*TH3: `n^2` – 7n + 11 > 1
⇒TH3 loại(vì `P`>1)
Kết hợp cả 3 TH trên ⇒ đẻ `P` là SNT thì `n^2` – `7n` + 11 = 1
⇔ `n^2` – `7n` + 10 = 0
⇔ `n^2` – 2n – 5n + 10 = 0
⇔ `(n-2).(n-5)` = 0
⇔ `n` – 2 = 0
`n` – 5 = 0
⇔ `n` = 2
`n` = 5
Xin hay nhất