Tìm n ∈ N để số sau là số nguyên tố: $\frac{n^{2} + 3n }{4}$

Đáp án: n = 4

Giải thích các bước giải:

Ta có: $\frac{n^{2}+3n}{4}$  = $\frac{n(n+3)}{4}$ = n. $\frac{n+3}{4}$  

Để $\frac{n^{2}+3n}{4}$ là số nguyên tố ⇒ $\frac{n^{2}+3n}{4}$ ∈ N

                                          ⇒ n chia hết cho 4 hoặc n+3 chia hết cho 4 

– Nếu n chia hết cho 4 ⇒ n = 4k ( k∈ N)

      +  Với k= 0 ⇒ n= 0⇒ $\frac{n^{2}+3n}{4}$ = 0 (không thỏa mãn)

      +  Với k= 1 ⇒ n= 4⇒ $\frac{n^{2}+3n}{4}$ = 7 (thỏa mãn)

      +  Với k ≥ 2⇒ $\frac{n^{2}+3n}{4}$ = 4k. $\frac{4k+3}{4}$ = k.(4k+3) là hợp số ⇒ Không thỏa mãn

– Nếu n+3 chia hết cho 4 ⇒ n+3 = 4m ⇒ n = 4m -3 (m > 0)

                                      ⇒ $\frac{n^{2}+3n}{4}$ = (4m-3). $\frac{4m-3+3}{4}$= (4m-3)m

   + Với m = 1 ⇒ $\frac{n^{2}+3n}{4}$ = 1 (không thỏa mãn)   

    + Với m ≥ 2 ⇒ 4m-3 > 1 ;  m> 1⇒ $\frac{n^{2}+3n}{4}$ là hợp số ⇒Không thỏa mãn