Tìm `n` nguyên để `B=n^2-n+13` là số chính phương

0 bình luận về “Tìm `n` nguyên để `B=n^2-n+13` là số chính phương”

1. Đáp án:

   `n∈{-12,-3,13,4}`

   Giải thích các bước giải:

    Vì `B` là số chính phương nên `4B` là số chính phương.

   Đặt `:` `4B=k^2(k∈NN)` thì `4B=4n^2-4n+52=k^2`

   `⇔` `(2n-1-k)(2n-1+k)=-51`

   Vì `2n-1+k≥2n-1-k` nên ta có các hệ `:`

   `+)` $\begin{cases} 2n-1+k=1\\2n-1-k=-51\end{cases}$`(1)`

   `+)` $\begin{cases} 2n-1+k=3\\2n-1-k=-17\end{cases}$`(2)`

   `+)` $\begin{cases} 2n-1+k=51\\2n-1-k=-1\end{cases}$`(3)`

   `+)` $\begin{cases} 2n-1+k=17\\2n-1-k=-3\end{cases}$`(4)`

   Giải hệ `(1),(2),(3)` và `(4)`được `n=-12,n=-3,n=13,n=4`

   Vậy các số nguyên cần tìm là `n∈{-12,-3,13,4}`

   Bình luận

2. Đáp án: $n∈\{13;4;-3;-12\}$

    

   Giải thích các bước giải:

   Để B là số chính phương

   $⇔B=m^2(m∈Z)$

   $⇔m^2=n^2-n+13(*)$

   $⇔4m^2=4n^2-4n+52$

   $⇔4m^2=(2n-1)^2+51$

   $⇔4m^2-(2n-1)^2=51$

   $⇔(2m-2n+1)(2m+2n-1)=51$

   Do $m;n∈Z⇒2m-2n+1∈Z;2m+2n-1∈Z$

   Xảy ra các trường hợp sau:

   –Trường hợp 1: $\large\left \{ {{2m-2n+1=1} \atop {2m+2n-1=51}} \right.⇔m=n=13$

   –Trường hợp 2: $\large\left \{ {{2m-2n+1=3} \atop {2m+2n-1=17}} \right.⇔m=5;n=4$

   –Trường hợp 3: $\large\left \{ {{2m-2n+1=17} \atop {2m+2n-1=3}} \right.⇔m=5;n=-3$

   –Trường hợp 4: $\large\left \{ {{2m-2n+1=51} \atop {2m+2n-1=1}} \right.⇔m=13;n=-12$

   –Trường hợp 5: $\large\left \{ {{2m-2n+1=-51} \atop {2m+2n-1=-1}} \right.⇔m=-13;n=13$

   –Trường hợp 6: $\large\left \{ {{2m-2n+1=-17} \atop {2m+2n-1=-3}} \right.⇔m=-5;n=4$

   –Trường hợp 7: $\large\left \{ {{2m-2n+1=-3} \atop {2m+2n-1=-17}} \right.⇔m=-5;n=-3$

   –Trường hợp 8: $\large\left \{ {{2m-2n+1=-1} \atop {2m+2n-1=-51}} \right.⇔m=-13;n=-12$

   Các trường hợp trên đều thỏa mãn $(*)$

   Vậy $n∈\{13;4;-3;-12\}$

   Bình luận