Tìm n nguyên dương để phương trình sau có nghiệm hữu tỷ:
${x^n} + {\left( {x + 2} \right)^n} + {\left( {2 – x} \right)^n} = 0$
Tìm n nguyên dương để phương trình sau có nghiệm hữu tỷ:
${x^n} + {\left( {x + 2} \right)^n} + {\left( {2 – x} \right)^n} = 0$
Đáp án: `n=1`
Giải thích các bước giải:
Nếu `n` chẵn thì các số hạng ở vế trái của phương trình là các số không âm và chúng không thể đồng thời bằng `0,` do đó phương trình đã cho vô nghiệm.
Nếu `n=1,` phương trình có một nghiệm `x=4.`
Ta xét `n` lẻ và `n>3.` Giả sử phương trình có môt nghiệm lẻ thì vế trái của phương trình là số lẻ, ddieuf này là vô lý. Do nghiệm của phương trình phải chẵn. Đặt `x=2a,` phương trình trở thành:
`a^n+(a+1)^n+(1-a)^n=0`
Hiển nhiên, `y\ne0.` Ta có:
`0=a^n+(a+1)^n+(1-a)^n\equiv2(mod|a|)`
Như vây, `a` là ước của `2` hay `a\in{+-1;+-2}`
Kiểm tra trực tiếp vào phương trình thấy không thỏa mã`(` loại `)`
Vậy `n=1` là nghiệm của phương trình.
với n là số chẵn => VT≥0
dấu”=” xảy ra <=> x=0
x=-2(vô lí)
x=2
với n là số lẻ => $x^{n }$+ $(x+2)^{n}$ =-$(2-x)^{n}$
<=> $x^{n }$+ $(x+2)^{n}$ =$(x-2)^{n}$
đặt x=$\frac{a}{b}$ ƯCLN(a;b)=1
=> $\frac{a^n+(a+2b)^n}{b^n}$ =$\frac{(a-b)^n}{b^n}$ (b $\neq$ 0)
=> $a^{n}$+ $(a+2b)^{n}$ =$(a-2b)^{n}$
=> $a^{n}$=$(a-2b)^{n}$ – $(a+2b)^{n}$(1)
=>$a^{n}$=4b*(…)
=> a là số chẵn
=> a=2x
thay vào (1) ta đc $x^{n}$ =2b(…)
=> x chia hết cho b
lại có UWCLN(a;b)=1 => UCLN(x;b)=1 mà x :b=>b=1
Suy ra x^n+(x+1)^n=(x−1)^n
nên (x−1)^n−(x+1)^n⋮x
ta lại có (x−1)^n≡−1(mod x)(do n lẻ)
và (x+1)^n≡1(mod n)
mà (x−1)^n−(x+1)^n≡−2(mod x) nên x|2 nên x=±1,±2
Nếu x=1⇒1+2^n=0^n vô lí,
nếu x=−1⇒−1+0=(−2)^n suy ra loại do n lẻ,
nếu x=2⇒2^n+3^n=1^n loại,
còn x=−2 thì (−2)^n+(−1)^n=(−3)^n⇒2n+1=3n do đó n=1
Vậy n=1