Tìm n thuộc N sao cho n^4+3n^3+n^2 là số chính phương 27/08/2021 Bởi Emery Tìm n thuộc N sao cho n^4+3n^3+n^2 là số chính phương
`+)` Xét `n=0` thì `0^4+3.0^3+0^2=0` `⇒` đây là một số chính phương. `+)` Xét `n=1` thì `1^4+3.1^3+1^2=5` `⇒` đây không là một số chính phương. `+)` Xét `n=2` thì `2^4+3.2^3+2^2=44` `⇒` đây không là một số chính phương. `+)` Xét `n>2` thì ta giả sử `n^4+3n^3+n^2` là số chính phương thì `4.(n^4+3n^3+n^2)` cũng là số chính phương. Ta xét: `4.(n^4+3n^3+n^2)=4n^2+12n^3+4n^2=n^2(4n^2+12n+4)=n^2.(4n^2+12n+9-5)=n^2.[(2n+3)^2-5]` Ta xét hiệu: `(2n+3)^2-5<(2n+3)^2` Lại có `n>2` thì `n^2+12n+4>4n^2+8n+4` hay `(2n+3)^2-5>(2n+2)^2` `⇒(2n+2)^2<(2n+3)^2-5<(2n+3)^2` Mà `(2n+2)^2,(2n+3)^2` là hai số chính phương liên tiếp nên không có một số chính phương nào giữa hai số chính phương liên tiếp (với `n∈NN`) `⇒(2n+3)^2-5` không phải số chính phương. `⇒n^2.[(2n+3)^2-5]` không phải số chính phương. `⇒n^4+3n^3+n^2` không là số chính phương `⇒` giả sử sai. Vậy `n=0.` Bình luận
`+)` Xét `n=0` thì `0^4+3.0^3+0^2=0` `⇒` đây là một số chính phương.
`+)` Xét `n=1` thì `1^4+3.1^3+1^2=5` `⇒` đây không là một số chính phương.
`+)` Xét `n=2` thì `2^4+3.2^3+2^2=44` `⇒` đây không là một số chính phương.
`+)` Xét `n>2` thì ta giả sử `n^4+3n^3+n^2` là số chính phương thì `4.(n^4+3n^3+n^2)` cũng là số chính phương.
Ta xét: `4.(n^4+3n^3+n^2)=4n^2+12n^3+4n^2=n^2(4n^2+12n+4)=n^2.(4n^2+12n+9-5)=n^2.[(2n+3)^2-5]`
Ta xét hiệu: `(2n+3)^2-5<(2n+3)^2`
Lại có `n>2` thì `n^2+12n+4>4n^2+8n+4` hay `(2n+3)^2-5>(2n+2)^2`
`⇒(2n+2)^2<(2n+3)^2-5<(2n+3)^2`
Mà `(2n+2)^2,(2n+3)^2` là hai số chính phương liên tiếp nên không có một số chính phương nào giữa hai số chính phương liên tiếp (với `n∈NN`)
`⇒(2n+3)^2-5` không phải số chính phương.
`⇒n^2.[(2n+3)^2-5]` không phải số chính phương.
`⇒n^4+3n^3+n^2` không là số chính phương `⇒` giả sử sai.
Vậy `n=0.`