tìm n thuộc Z để tích 2 phân số $\frac{19}{n-1}$( với khác 1) và $\frac{n}{9}$ có giá trị là số nguyên? giúp mik vs

Đáp án:

Vậy n ∈ {2;0;20;-18}

Giải thích các bước giải:

Ta có: $\dfrac{19}{n-1}.\dfrac{n}{9} \in Z$ (với $n \in Z, n \neq 1$)

$=>\dfrac{19}{n-1}.\dfrac{n}{9} \in Z$

$=>\dfrac{19n}{9.(n-1)} \in Z$

$=>\dfrac{19n}{9n-9} \in Z$

Để $\dfrac{19n}{9n-9} \in Z$ thì $19n\vdots 9n-9$

Vì $19n\vdots 9n-9$ nên $9.19n\vdots 9n-9$

Và $9n-9\vdots 9n-9$ nên $19.(9n-9)\vdots 9n-9$

$=>9.19n- 19.(9n-9)\vdots 9n-9$

$=>9.19n- (19.9n-19.9)\vdots 9n-9$

$=>9.19n- (19.9n-171)\vdots 9n-9$

$=>9.19n- 19.9n+171\vdots 9n-9$

$=>171\vdots 9n-9$

$=>9n-9\in Ư(171)$

Ư(171)={1;-1;3;-3;9;-9;19;-19;57;-57;171;-171}

=>9n-9={1;-1;3;-3;9;-9;19;-19;57;-57;171;-171}

=>9.(n-1)={1;-1;3;-3;9;-9;19;-19;57;-57;171;-171}

Mà $n \in Z, n \neq 1$ (đề cho)

Nên các giá trị trên phải chia hết cho 9

Do đó các ước của 171 phải có số chia hết cho 9, đó là: {9;-9;171;-171}

$=>9.(n-1)={9;-9;171;-171}$

$=>n-1={1;-1;19;-19}$

$=>n={2;0;20;-18}$

Vậy n ∈ {2;0;20;-18}