tìm nghiệm nguyên x,y thỏa mãn pt: x^2=y.(y+1).(y+2).(y+3) Giúp mình với cần gấp lắm

Đáp án: Tập nghiệm là $(x; y) ∈ ((0; 0); (0;-1); (0;-2); (0;-3))$

Giải thích các bước giải:

Vế phải $= y(y + 1)(y + 2)(y + 3) = y(y + 3)(y + 1)(y + 2) = (y² + 3y)(y² + 3y + 2) = (y² + 3y)² + 2(y² + 3y) = (y² + 3y)² + 2(y² + 3y) + 1 – 1 = (y² + 3y + 1)² – 1$

Thay vào PT :

$x² = (y² + 3y + 1)² – 1$

$⇔ (y² + 3y + 1)² – x² = 1$

$⇔ (y² + 3y + 1 + x)(y² + 3y + 1 – x) = 1 (*)$

Do $x; y $ nguyên $⇒ y² + 3y + 1 + x$ và $y² + 3y + 1 – x$ nguyên nên từ $(*)$ suy ra chỉ có 2 trường hợp xảy ra:

\(\left[ \begin{array}{l}y² + 3y + 1 + x = 1(1)\\y² + 3y + 1 – x = 1(2)\end{array} \right.\)

Lấy $(1) – (2)$ vế với vế : $2x = 0 ⇒ x = 0$

Thay vào $(1) ⇒ y² + 3y = 0 ⇔ y(y + 3) = 0 ⇔ y = 0; y = – 3$

Hoặc:

\(\left[ \begin{array}{l}y² + 3y + 1 + x = – 1(3)\\y² + 3y + 1 – x = – 1(4)\end{array} \right.\)

Lấy $(3) – (4)$ vế với vế : $2x = 0 ⇒ x = 0$

Thay vào $(3)$

$⇒ y² + 3y + 2 ⇔ (y + 1)(y + 2) = 0 ⇔ y = – 1; y = – 2$