tìm nghiệm nguyên x,y thỏa mãn pt: x^2=y.(y+1).(y+2).(y+3) Giúp mình với cần gấp lắm 19/11/2021 Bởi Mary tìm nghiệm nguyên x,y thỏa mãn pt: x^2=y.(y+1).(y+2).(y+3) Giúp mình với cần gấp lắm
Đáp án: Tập nghiệm là $(x; y) ∈ ((0; 0); (0;-1); (0;-2); (0;-3))$ Giải thích các bước giải: Vế phải $= y(y + 1)(y + 2)(y + 3) = y(y + 3)(y + 1)(y + 2) = (y² + 3y)(y² + 3y + 2) = (y² + 3y)² + 2(y² + 3y) = (y² + 3y)² + 2(y² + 3y) + 1 – 1 = (y² + 3y + 1)² – 1$ Thay vào PT : $x² = (y² + 3y + 1)² – 1$ $⇔ (y² + 3y + 1)² – x² = 1$ $⇔ (y² + 3y + 1 + x)(y² + 3y + 1 – x) = 1 (*)$ Do $x; y $ nguyên $⇒ y² + 3y + 1 + x$ và $y² + 3y + 1 – x$ nguyên nên từ $(*)$ suy ra chỉ có 2 trường hợp xảy ra: \(\left[ \begin{array}{l}y² + 3y + 1 + x = 1(1)\\y² + 3y + 1 – x = 1(2)\end{array} \right.\) Lấy $(1) – (2)$ vế với vế : $2x = 0 ⇒ x = 0$ Thay vào $(1) ⇒ y² + 3y = 0 ⇔ y(y + 3) = 0 ⇔ y = 0; y = – 3$ Hoặc: \(\left[ \begin{array}{l}y² + 3y + 1 + x = – 1(3)\\y² + 3y + 1 – x = – 1(4)\end{array} \right.\) Lấy $(3) – (4)$ vế với vế : $2x = 0 ⇒ x = 0$ Thay vào $(3)$ $⇒ y² + 3y + 2 ⇔ (y + 1)(y + 2) = 0 ⇔ y = – 1; y = – 2$ Bình luận
Đáp án: Tập nghiệm là $(x; y) ∈ ((0; 0); (0;-1); (0;-2); (0;-3))$
Giải thích các bước giải:
Vế phải $= y(y + 1)(y + 2)(y + 3) = y(y + 3)(y + 1)(y + 2) = (y² + 3y)(y² + 3y + 2) = (y² + 3y)² + 2(y² + 3y) = (y² + 3y)² + 2(y² + 3y) + 1 – 1 = (y² + 3y + 1)² – 1$
Thay vào PT :
$x² = (y² + 3y + 1)² – 1$
$⇔ (y² + 3y + 1)² – x² = 1$
$⇔ (y² + 3y + 1 + x)(y² + 3y + 1 – x) = 1 (*)$
Do $x; y $ nguyên $⇒ y² + 3y + 1 + x$ và $y² + 3y + 1 – x$ nguyên nên từ $(*)$ suy ra chỉ có 2 trường hợp xảy ra:
\(\left[ \begin{array}{l}y² + 3y + 1 + x = 1(1)\\y² + 3y + 1 – x = 1(2)\end{array} \right.\)
Lấy $(1) – (2)$ vế với vế : $2x = 0 ⇒ x = 0$
Thay vào $(1) ⇒ y² + 3y = 0 ⇔ y(y + 3) = 0 ⇔ y = 0; y = – 3$
Hoặc:
\(\left[ \begin{array}{l}y² + 3y + 1 + x = – 1(3)\\y² + 3y + 1 – x = – 1(4)\end{array} \right.\)
Lấy $(3) – (4)$ vế với vế : $2x = 0 ⇒ x = 0$
Thay vào $(3)$
$⇒ y² + 3y + 2 ⇔ (y + 1)(y + 2) = 0 ⇔ y = – 1; y = – 2$