Tìm p nguyên tố để $2^{p}$ +$p^{2}$ là số nguyên tố 28/07/2021 Bởi Bella Tìm p nguyên tố để $2^{p}$ +$p^{2}$ là số nguyên tố
Nếu p=2 ⇒2²+2²=4+4=8 không phải số nguyên tố loại Nếp p=3 ⇒2³+3²=8+9=17 thỏa mãn Nếp p>3⇒p có dạng 2k+1 và p không chia hết cho 3 ⇒p² luôn chia 3 dư 1 2^p=2^2k+1=4^k * 2≡1^k * 2(mod3)≡2(mod3) ⇒2^p+p² chia hết cho 3 Mà 2p+p22p+p2 >3 ⇒2^p+p² là hợp số ( loại) Vậy p=3 Bình luận
Đáp án: p=3 Giải thích các bước giải: Nếu p=2 ⇒\({2^2} + {2^2} = 8\) không phải số nguyên tố loại Nếp p=3 ⇒\({2^3} + {3^2} = 17\) thỏa mãn Nếp p>3⇒p có dạng 2k+1 và p không chia hết cho 3 ⇒p² luôn chia 3 dư 1 \({2^p} = {2^{2k + 1}} = {4^k}.2 \equiv {1^k}.2(\bmod 3) \equiv 2(\bmod 3)\) ⇒\({2^p} + {p^2}\) chia hết cho 3 Mà \({2^p} + {p^2}\) >3 ⇒\({2^p} + {p^2}\) là hợp số ( loại) Vậy p=3 Bình luận
Nếu p=2
⇒2²+2²=4+4=8 không phải số nguyên tố loại
Nếp p=3
⇒2³+3²=8+9=17 thỏa mãn
Nếp p>3⇒p có dạng 2k+1 và p không chia hết cho 3
⇒p² luôn chia 3 dư 1
2^p=2^2k+1=4^k * 2≡1^k * 2(mod3)≡2(mod3)
⇒2^p+p² chia hết cho 3
Mà 2p+p22p+p2 >3
⇒2^p+p² là hợp số ( loại)
Vậy p=3
Đáp án:
p=3
Giải thích các bước giải:
Nếu p=2
⇒\({2^2} + {2^2} = 8\) không phải số nguyên tố loại
Nếp p=3
⇒\({2^3} + {3^2} = 17\) thỏa mãn
Nếp p>3⇒p có dạng 2k+1 và p không chia hết cho 3
⇒p² luôn chia 3 dư 1
\({2^p} = {2^{2k + 1}} = {4^k}.2 \equiv {1^k}.2(\bmod 3) \equiv 2(\bmod 3)\)
⇒\({2^p} + {p^2}\) chia hết cho 3
Mà \({2^p} + {p^2}\) >3
⇒\({2^p} + {p^2}\) là hợp số ( loại)
Vậy p=3