Tìm số nguyên dương `n` để `\frac{n-23}{n+89}` là bình phương của một số hữu tỉ

Đáp án + Giải thích các bước giải:

Đặt $\frac{n -23}{n+89}$ = $\frac{a^2}{b^2}$ (với a,b là 2 số nguyên dương và (a,b) = 1)

Gọi d = (n – 23, n+ 89) => n+ 89 – (n – 23)= 112 chia hết cho d 

Do đó d chỉ có thể có các ước nguyên tố là 2 và 7

Nếu d chia hết cho 7 thì: Đặt n = 7k + 2 (với k là số nguyên dương). Suy ra:

$\frac{n-23}{n+89}$ = $\frac{7k-21}{7k+89}$ = $\frac{k-3}{k+13}$ 

Đến đây xét vài trường hợp nữa bài này có dạng tìm k biết k + a,k +b đều là số chính phương