Tìm số nguyên `n` để `(n-1)^2(n^2-6n+10)` là số chính phương

0 bình luận về “Tìm số nguyên `n` để `(n-1)^2(n^2-6n+10)` là số chính phương”

1. Xét trường hợp `(n-1)^2(n^2-6n+10)=0`

   `⇔(n-1)^2(n^2-6n+9+1)=0`

   `⇔(n-1)^2[(n^2-6n+9)+1]=0`

   `⇔(n-1)^2[(n-3)^2+1]=0`

   `⇔(n-1)^2=0` (vì `(n-3)^2+1\ge1>0`)

   `⇔n-1=0`

   `⇔n=1(tm).`

   Xét trường hợp `(n-1)^2(n^2-6n+10)\ne0`

   Có: `(n-1)^2` là một số chính phương.

   `⇒` Để `(n-1)^2(n^2-6n+10)` là số chính phương thì `n^2-6n+10` cũng phải là một số chính phương.

   `⇒` \(\left[ \begin{array}{l}(n-1)^2=0\\(n-3)^2+1=0\end{array} \right.\) 

   Đặt `n^2-6n+10=y^2(y∈NN`$*)$

   `⇔n^2-6n+9-y^2=-1`

   `⇔(n-3)^2-y^2=-1`

   `⇔(n-3-y)(n-3+y)=-1`

   Ta có: `n∈ZZ,y∈NN`$*$ nên `n-3-y;n-3+y∈Ư(-1)={±1}.`

   Ta lại có: `y∈NN⇒n-3+y \gen-3-y`

   Do đó ta có `1` trường hợp:

   $\begin{cases}n-3+y=1\\n-3-y=-1\end{cases}$

   $⇔\begin{cases}n-3+y=1\\n-3-y=-1\end{cases}$

   $⇔\begin{cases}2n-6=0\\2n=6⇒n=3.\end{cases}$

   Vậy `n∈{0;3}` thì (n-1)^2(n^2-6n+10) là một số chính phương.

   Bình luận

2. $@Mon$

   $(n-1)²(n²-6n+10)$
   $=(n-1)²(n²-6n+9+1)$

   $=(n-1)²[(n-3)²+1]$

   $Để$ $(n-1)²(n²-6n+10)$ $là$ $số$ $chính$ $phương$ $thì:$

   $(n-3)²+1$ $là$ $số$ $chính$ $phương$

   $Đặt$ $(n-3)²+1=m²$

   ⇔ $(n-3)²=m²-1$

   ⇔ \(\left[ \begin{array}{l}n-3=\sqrt[]{m²-1} \\n-3=-\sqrt[]{m²-1} \end{array} \right.\)  $(ĐK: m≥1)$

   ⇔ \(\left[ \begin{array}{l}n=\sqrt[]{m²-1}+3\\n=-\sqrt[]{m²-1}+3 \end{array} \right.\) 

   $Vì$ $n$ $là$ $số$ $nguyên$ $nên$ $chỉ$ $có$ $m=1$ $thỏa$ $mãn$ $n∈Z$

   $⇒n=\sqrt[]{1²-1}+3=0+3=3$

   $Vậy$ $n=3$ $thì$ $(n-1)²(n²-6n+10)$ $là$ $số$ $chính$ $phương$ 

   $Chúc$ $bạn$ $học$ $tốt!$

    

   Bình luận