Tìm số `\overline{xyz}` biết rằng: $\sqrt[3]{\overline{xyz}}=(x+y+z)^{4n}$ với `n\in N`

Đáp án:

$\overline{xyz}=152$

Giải thích các bước giải:

 Xét 2 trường hợp:

Trường hợp 1:Với $n≥1$ và vì $x≥1$ nên:

Nếu $y=z=0$ thì $\sqrt[3]{\overline{xyz}}=\sqrt[3]{x.100} ∉ N$ trong khi $(x+y+z)^{4n} ∈ N$

$⇒$Vô lí

Nếu $y+z≥1$ thì $x+y+z≥2:$

$⇒(x+y+z)^{4n}≥2^4=16>10=\sqrt[3]{1000}>\sqrt[3]{\overline{xyz}}$

$⇒$ Vô lí

Vậy với $n≥1$ không thỏa mãn

Trường hợp 2:Với $n=0:$

$\sqrt[3]{\overline{xyz}}=x+y+z⇔\overline{xyz}=(x+y+z)^3$  (1)

Mặt khác: 

$64<\overline{xyz}<1000⇔64<(x+y+z)^3<1000$

$⇔4<x+y+z<10$   (2)

Nếu $a∈N$ thì $a^3$ chia cho $9$ có số dư là $0,1,8$:

$⇒(x+y+z)^3$ chia cho $9$ có số dư là $0,1,8$

$⇔\overline{xyz}$ chia cho $9$ có số dư là $0,1,8$

$⇔x+y+z$ chia cho $9$ có số dư là $0,1,8$    (3)

$(2);(3)⇒x+y+z=8$ hay $x+y+z=9$

$+$Với $x+y+z=8$,ta có:

$\overline{xyz}=(x+y+z)^3=8^3=512=(5+1+2)^3(TM)$

$+$Với $x+y+z=9$,ta có:

$\overline{xyz}=(x+y+z)^3=9^3=729$ khác $(7+2+9)^3(L)$

Vậy $\overline{xyz}=512$