Tìm số tự nhiên n biết 2^n -1-2-2^2 -2^3-….-2^100=1 02/08/2021 Bởi Madelyn Tìm số tự nhiên n biết 2^n -1-2-2^2 -2^3-….-2^100=1
Đáp án: \[n = 101\] Giải thích các bước giải: Đặt \(\begin{array}{l}A = 1 + 2 + {2^2} + {2^3} + …. + {2^{100}}\\ \Leftrightarrow 2A = 2 + {2^2} + {2^3} + ….. + {2^{101}}\\ \Leftrightarrow 2A – A = \left( {2 + {2^2} + {2^3} + …. + {2^{101}}} \right) – \left( {1 + 2 + {2^2} + {2^3} + ….. + {2^{100}}} \right)\\ \Leftrightarrow A = {2^{101}} – 1\end{array}\) Ta có: \(\begin{array}{l}{2^n} – 1 – 2 – {2^2} – {2^3} – ….. – {2^{100}} = 1\\ \Leftrightarrow {2^n} – \left( {1 + 2 + {2^2} + {2^3} + ….. + {2^{100}}} \right) = 1\\ \Leftrightarrow {2^n} – A = 1\\ \Leftrightarrow {2^n} – \left( {{2^{101}} – 1} \right) = 1\\ \Leftrightarrow {2^n} = {2^{101}}\\ \Leftrightarrow n = 101\end{array}\) Bình luận
Đáp án:
\[n = 101\]
Giải thích các bước giải:
Đặt
\(\begin{array}{l}
A = 1 + 2 + {2^2} + {2^3} + …. + {2^{100}}\\
\Leftrightarrow 2A = 2 + {2^2} + {2^3} + ….. + {2^{101}}\\
\Leftrightarrow 2A – A = \left( {2 + {2^2} + {2^3} + …. + {2^{101}}} \right) – \left( {1 + 2 + {2^2} + {2^3} + ….. + {2^{100}}} \right)\\
\Leftrightarrow A = {2^{101}} – 1
\end{array}\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}
{2^n} – 1 – 2 – {2^2} – {2^3} – ….. – {2^{100}} = 1\\
\Leftrightarrow {2^n} – \left( {1 + 2 + {2^2} + {2^3} + ….. + {2^{100}}} \right) = 1\\
\Leftrightarrow {2^n} – A = 1\\
\Leftrightarrow {2^n} – \left( {{2^{101}} – 1} \right) = 1\\
\Leftrightarrow {2^n} = {2^{101}}\\
\Leftrightarrow n = 101
\end{array}\)