Tìm số tự nhiên n biết 2^n -1-2-2^2 -2^3-….-2^100=1

Đáp án:

\[n = 101\]

Giải thích các bước giải:

 Đặt

\(\begin{array}{l}
A = 1 + 2 + {2^2} + {2^3} + …. + {2^{100}}\\
 \Leftrightarrow 2A = 2 + {2^2} + {2^3} + ….. + {2^{101}}\\
 \Leftrightarrow 2A – A = \left( {2 + {2^2} + {2^3} + …. + {2^{101}}} \right) – \left( {1 + 2 + {2^2} + {2^3} + ….. + {2^{100}}} \right)\\
 \Leftrightarrow A = {2^{101}} – 1
\end{array}\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}
{2^n} – 1 – 2 – {2^2} – {2^3} – ….. – {2^{100}} = 1\\
 \Leftrightarrow {2^n} – \left( {1 + 2 + {2^2} + {2^3} + ….. + {2^{100}}} \right) = 1\\
 \Leftrightarrow {2^n} – A = 1\\
 \Leftrightarrow {2^n} – \left( {{2^{101}} – 1} \right) = 1\\
 \Leftrightarrow {2^n} = {2^{101}}\\
 \Leftrightarrow n = 101
\end{array}\)