Tìm số tự nhiên n để `n^4+4` là một số chính phương

0 bình luận về “Tìm số tự nhiên n để `n^4+4` là một số chính phương”

1. Đáp án: $n=0$

   Giải thích các bước giải:

   Để $n^4+4$ là số chính phương

   $\to n^4+4=x^2, x\in N$

   Ta có: $n^4+4>n^4=(n^2)^2\to x^2>(n^2)^2$

   Mà $(n^2+2)^2=n^4+4n^2+4\ge n^4+4$

   $\to (n^2+2)^2\ge x^2$

   $\to (n^2)^2<x^2\le (n^2+2)^2$

   Để $x^2$ là số chính phương

   $\to x^2\in\{(n^2+1)^2, (n^2+2)^2\}$

   Nếu $x^2=(n^2+1)^2$

   $\to n^4+4=(n^2+1)^2$

   $\to n^4+4=n^4+4n^2+1$

   $\to 4n^2=3$ (loại)

   Nếu $x^2=(n^2+2)^2$

   $\to n^4+4=(n^2+2)^2$

   $\to n^4+4=n^4+4n^2+4$

   $\to 4n^2=0$

   $\to n=0$

   Bình luận

2. Đáp án:

    

   Giải thích các bước giải:

    Đặt $n^4+4=a^2$

   $⇒a^2-n^4=4$

   $⇒(a-n^2)(a+n^2)=4$

   $⇒(a-n^2)(a+n^2)∈Ư_{4}={1;2;4}$(do là số tự nhiên)

   vì $(a+n^2≥a-n^2)$

   ⇒$\begin{cases}a+n^2=4\\\\a-n^2=1\end{cases}$

   $2n^2=3(loại)$

   ⇒$\begin{cases}a+n^2=2\\\\a-n^2=2\end{cases}$

   $2n^2=0$

   $n=0$

   Bình luận