Tìm số tự nhiên $x$, $y$ khác $0$ biết $\ 2x + y = 36$ và $ƯCLN(x, y) + 3. BCNN(x, y) = 78$

0 bình luận về “Tìm số tự nhiên $x$, $y$ khác $0$ biết $\ 2x + y = 36$ và $ƯCLN(x, y) + 3. BCNN(x, y) = 78$”

1. Gọi $ƯCLN(x,y)=d$ ⇒$\ x\vdots d$ và $\ y\vdots d$

   ⇒$x=da$ và $y=db$ $(a,b∈N*;ƯCLN(a,b)=1)$

   mà $2x+y=36$

   ⇒$2.da+db=36$

   ⇒$d.(2a+b)=36$ $(*)$

   ⇒$\ 36\vdots d$

   ⇒$d∈Ư(36)$ $(1)$

   Ta lại có: $BCNN(x,y).ƯCLN(x,y)=xy$

   ⇒$BCNN(x,y)=\dfrac{xy}{ƯCLN(x,y)}$

   ⇒$BCNN(x,y)=\dfrac{da.db}{d}$

   ⇒$BCNN(x,y)=dab$

   mà $ƯCLN(x,y)+3.BCNN(x,y)=78$

   ⇒$d+3.dab=78$

   ⇒$d.(1+3.ab)=78$ $(**)$

   ⇒$\ 78\vdots d$

   ⇒$d∈Ư(78)$ $(2)$

   Từ $(1),(2)$ ⇒$d∈ƯC(36;78)$

   Ta có: $36=2^2.3^2$

             $78=2.3.13$

   ⇒$ƯCLN(36;78)=2.3=6$

   ⇒$ƯC(36;78)=Ư(6)={1;2;3;6}

   ⇒$d∈{1;2;3;6}$

   Mặt khác từ $d.(1+3.ab)=78$

   ⇒$d.(1+3.ab)=3.26$

   mà $1+3.ab$ không chia hết cho 3; 3 là số nguyên tố

   ⇒$\ d\vdots3$

   ⇒$d∈{3;6}$

   Kiểm tra lại bằng cách thay lần lượt các giá trị của d vào $(*)$ và $(**)$ ta thấy $d=6$ thỏa mãn và khi đó thì $a=1⇒x=6$; $b=4⇒y=24$.

   Vậy $x=6$ và $y=24$.

    

   Bình luận