Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $(x;y)$ sao cho $(x^2-2)$ $\vdots$ $xy+2$

0 bình luận về “Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $(x;y)$ sao cho $(x^2-2)$ $\vdots$ $xy+2$”

1. Đáp án:

    

   Giải thích các bước giải:

    $⇒y(x^2-2)$ chia hết $xy+2$

   $⇒x(xy+2)-2y-2x$ chia hết $xy+2$

   $⇒2(x+y)$ chia hết $xy+2$

   $⇒2(x+y) \geq xy+2⇔xy-2x-2y+2 \leq 0$

   $⇔(x-2)(y-2)-2 \leq 0$

   $⇔(x-2)(y-2) \leq 2$

   Mặt khác $x^2-2$ chia hết $xy+2$, mà $xy+2 \geq 3$ với mọi $x;y$ nguyên dương

   $⇒x^2-2 \geq 3⇒x>2$

   $⇒x-2>0$

   TH1: $y=1⇒2(x+1)$ chia hết $x+2⇒2(x+2)-2$ chia hết $x+2$

   $⇒2$ chia hết $x+2⇒$ không tồn tại x thỏa mãn (do $x>2$)

   TH2: $y=2⇒2(x+2)$ chia hết $2x+2⇒2(x+2)+2$ chia hết $2x+2$

   $⇒2$ chia hết $2x+2⇒1$ chia hết $x+1$ (vẫn ko tồn tại $x>2$ thỏa mãn)

   TH3: $y=3⇒2(x+3)$ chia hết $3x+2⇒2(x+3) \leq 3x+2$

   $⇒x \leq 4⇒x=\{3;4\}$

   Thử lại ta thấy $x=4$ thỏa mãn

   TH4: $y=4⇒y-2=2$, mà $(x-2)(y-2) \leq 2⇔x-2 \leq 1$

   $⇒x\leq 3⇒x=3$ 

   Thế $x=3;y=4$ không thỏa mãn

   TH5: $y \geq 5 ⇒y-2 \geq 3$

   Mà $x>2 ⇒x-2 \geq 1⇒(x-2)(y-2) \geq 3>2$ (không thỏa mãn)

   Vậy pt có đúng 1 cặp số nguyên dương thỏa mãn: $(x;y)=(4;3)$

   Bình luận