Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $(x;y)$ sao cho $(x^2-2)$ $\vdots$ $xy+2$

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

 $⇒y(x^2-2)$ chia hết $xy+2$

$⇒x(xy+2)-2y-2x$ chia hết $xy+2$

$⇒2(x+y)$ chia hết $xy+2$

$⇒2(x+y) \geq xy+2⇔xy-2x-2y+2 \leq 0$

$⇔(x-2)(y-2)-2 \leq 0$

$⇔(x-2)(y-2) \leq 2$

Mặt khác $x^2-2$ chia hết $xy+2$, mà $xy+2 \geq 3$ với mọi $x;y$ nguyên dương

$⇒x^2-2 \geq 3⇒x>2$

$⇒x-2>0$

TH1: $y=1⇒2(x+1)$ chia hết $x+2⇒2(x+2)-2$ chia hết $x+2$

$⇒2$ chia hết $x+2⇒$ không tồn tại x thỏa mãn (do $x>2$)

TH2: $y=2⇒2(x+2)$ chia hết $2x+2⇒2(x+2)+2$ chia hết $2x+2$

$⇒2$ chia hết $2x+2⇒1$ chia hết $x+1$ (vẫn ko tồn tại $x>2$ thỏa mãn)

TH3: $y=3⇒2(x+3)$ chia hết $3x+2⇒2(x+3) \leq 3x+2$

$⇒x \leq 4⇒x=\{3;4\}$

Thử lại ta thấy $x=4$ thỏa mãn

TH4: $y=4⇒y-2=2$, mà $(x-2)(y-2) \leq 2⇔x-2 \leq 1$

$⇒x\leq 3⇒x=3$ 

Thế $x=3;y=4$ không thỏa mãn

TH5: $y \geq 5 ⇒y-2 \geq 3$

Mà $x>2 ⇒x-2 \geq 1⇒(x-2)(y-2) \geq 3>2$ (không thỏa mãn)

Vậy pt có đúng 1 cặp số nguyên dương thỏa mãn: $(x;y)=(4;3)$