Tìm tất cả các giá trị của m để (D) cắt (P) tại hai điểm phân biệt sao cho tổng các tung độ của hai giao điểm đó lớn nhất. (P) y=-x^2/4 , (D) y=mx-m-2
Tìm tất cả các giá trị của m để (D) cắt (P) tại hai điểm phân biệt sao cho tổng các tung độ của hai giao điểm đó lớn nhất. (P) y=-x^2/4 , (D) y=mx-m-2
Đáp án:
`m= -1/4`
Giải thích các bước giải:
Phương trình hoành độ giao điểm của `(P):y=-{x^2}/4` và `(D): y=mx-m-2` là:
`\qquad -{x^2}/4=mx-m-2`
`<=>-x^2=4mx-4m-8`
`<=>x^2+4mx-4m-8=0` (*)
`∆’=b’^2-ac=(2m)^2-1.(-4m-8)`
`∆’=(2m)^2+4m+8=(2m)^2+2.2m.1+1+7`
`∆’=(2m+1)^2+7\ge 7>0`
`=>` phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt `x_1;x_2`
`=>(D)` và $(P)$ luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt có hoành độ `x_1;x_2`
Từ hệ thức Viet ta có: `x_1+x_2={-b}/a=-4m`
Gọi tọa độ hai giao điểm của $(P); (D)$ lần lượt là `(x_1;y_1);(x_2;y_2)`
`=>`$\begin{cases}y_1=mx_1-m-2\\y_2=mx_2-m-2\end{cases}$
Ta có:
`\qquad y_1+y_2`
`=mx_1-m-2+mx_2-m-2`
`=m(x_1+x_2)-2m-4`
`=m.(-4m)-m-4`
`=-4m^2-2m-4`
`=-[(2m)^2+2.2m. 1/2+1/4]-{15}/4`
`=-(2m+1/2)^2-{15}/4`
Với mọi `m` ta có:
`\qquad (2m+1/2)^2\ge 0`
`=>-(2m+1/2)^2\le 0`
`=> -(2m+1/2)^2-{15}/4\le -{15}/4`
`=>y_1+y_2\le -{15}/4`
Dấu “=” xảy ra khi `(2m+1/ 2)^2=0<=>m=-1/ 4`
Vậy `m= -1/ 4` thì `y_1+y_2` có $GTLN$ bằng `{-15}/4`