tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình x^3-3x^2+mx+2m-1=0 có 3 nghiệm phân biệt lập thành 1 cấp số cộng
tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình x^3-3x^2+mx+2m-1=0 có 3 nghiệm phân biệt lập thành 1 cấp số cộng
Đáp án:
\[m = 1\]
Giải thích các bước giải:
Giả sử phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt \({x_1};{x_2};{x_3}\) lập thành cấp số cộng.
Suy ra \({x_1} = a – d;{x_2} = a;{x_3} = a + d\)
Áp dụng định lí Vi- et ta có:
\[\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} + {x_3} = \frac{{ – b}}{a} = 3\\
{x_1}{x_2} + {x_2}{x_3} + {x_3}{x_1} = \frac{c}{a} = m\\
{x_1}{x_2}{x_3} = \frac{{ – d}}{a} = 1 – 2m
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a – d + a + a + d = 3\\
\left( {a – d} \right)a + a\left( {a + d} \right) + \left( {a + d} \right)\left( {a – d} \right) = m\\
\left( {a – d} \right)a\left( {a + d} \right) = 1 – 2m
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = 1\\
3{a^2} – {d^2} = m\\
{a^3} – a{d^2} = 1 – 2m
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = 1\\
{d^2} = 3 – m\\
{d^2} = 2m
\end{array} \right. \Rightarrow 3 – m = 2m \Leftrightarrow m = 1
\end{array}\]