Tìm tất cả các số nguyên dương a,b sao cho `a^4+4b^4` là 1 số nguyên tố 12/11/2021 Bởi Madelyn Tìm tất cả các số nguyên dương a,b sao cho `a^4+4b^4` là 1 số nguyên tố
Có` a^4+4b^4 =(a²+2b²)²-(2ab)²=[(a+b)²+b²].[(a-b)²+b²]` Có a,b dương nên `(a+b)²+b²>1` Để là số nguyên tố`⇒(a-b)²+b²=1` `⇒a=b=1 ` Vậy `a=b=1` Bình luận
+ Ta có: $a^{4} + 4b^{4} = a^{4} + 4b^{4} + 4a^{2}b^{2} – 4a^{2}b^{2} = (a^{2} + 2b^{2})^{2} -(2ab)^{2} = (a^{2} + 2b^{2} + 2ab)(a^{2} + 2b^{2} – 2ab) = [(a + b)^{2} + b^{2}][(a -b)^{2} + b^{2}]$ . + Vì $(a + b)^{2} + b^{2} > 1$ nên $a^{4} + 4b^{4}$ chỉ có thể là số nguyên khi $(a – b)^{2} + b^{2} = 1$. + Suy ra: $a = b = 1$ thỏa mãn bài toán. Bình luận
Có` a^4+4b^4 =(a²+2b²)²-(2ab)²=[(a+b)²+b²].[(a-b)²+b²]`
Có a,b dương nên `(a+b)²+b²>1`
Để là số nguyên tố`⇒(a-b)²+b²=1`
`⇒a=b=1 `
Vậy `a=b=1`
+ Ta có: $a^{4} + 4b^{4} = a^{4} + 4b^{4} + 4a^{2}b^{2} – 4a^{2}b^{2} = (a^{2} + 2b^{2})^{2} -(2ab)^{2} = (a^{2} + 2b^{2} + 2ab)(a^{2} + 2b^{2} – 2ab) = [(a + b)^{2} + b^{2}][(a -b)^{2} + b^{2}]$ .
+ Vì $(a + b)^{2} + b^{2} > 1$ nên $a^{4} + 4b^{4}$ chỉ có thể là số nguyên khi $(a – b)^{2} + b^{2} = 1$.
+ Suy ra: $a = b = 1$ thỏa mãn bài toán.