Tìm tất cả các số nguyên dương n biết rằng n cộng với tổng các chữ số của nó bằng 2013.

0 bình luận về “Tìm tất cả các số nguyên dương n biết rằng n cộng với tổng các chữ số của nó bằng 2013.”

1. Do tổng của $n$ và các chữ số của nó bằng $2013$, nên rõ ràng $n < 2013$.

   Mặt khác, $n$ ko thể là số có 3 chữ số, vì nếu ngược lại thì số lớn nhất có thể chỉ là

   $999 + (9 + 9 + 9) = 1026 < 2013$

   Vậy $n$ phải là số có 4 chữ số.

   Gọi $n$ là $\overline{abcd}$.

   TH1: $a = 1$

   Khi đó, ta có 

   $\overline{1bcd} + 1 + b + c + d = 2013$

   $<-> 1000 + \overline{bcd} + 1 + b + c + d = 2013$

   $<-> 1001 + \overline{bcd} + b + c + d = 2013$

   $<-> \overline{bcd} + b + c + d = 1012$

   Ta có $b$ chắc chắn phải bằng $9$, vì nếu ngược lại thì số $\overline{bcd}$ lớn nhất có thể là $899$, tuy nhiên

   $899 + 8 + 9 + 9 = 925 < 1012$

   Do đó $b = 9$. Tiếp tục thay vào ta có

   $\overline{9cd} + 9 + c + d = 1012$

   $<-> 900 + \overline{cd} + 9 + c + d = 1012$

   $<-> \overline{cd} + c + d = 103$

   Ta thấy $c > 7$ do nếu $c \leq 7$ thì khi đó

   $79 + 7 + 9 = 95 < 103$

   Nếu $c = 8$ thì ta có

   $\overline{8d} + 8 + d = 103$

   $<-> 80 + d + 8 + d = 103$

   $<-> 2d = 15$ (vô lý)

   Nếu $c = 9$ ta có

   $\overline{9d} + 9 + d = 103$

   $<-> 90 + d + 9 + d = 103$

   $<-> 2d  = 4$

   $<-> d = 2$
   Vậy số cần tìm là $1992$.

   TH2: $a = 2$

   Khi đó ta có

   $\overline{2bcd} + 2 + b + c + d = 2013$

   $<-> 2000 + \overline{bcd} +  2 +b + c + d = 2013$

   $<-> \overline{bcd} + b + c + d = 11$

   Ta thấy rằng $\overline{bcd}$ là một số có 3 chữ số, mà tổng của chúng là một số có 2 chữ số, do đó $b = 0$. Suy ra

   $\overline{cd} + c + d = 11$

   Do $\overline{cd}$ là một số có hai chữ số, mà số này cộng với $c$ và $d$ bằng $11$ nên $c = 1$. Thay vào ta có

   $\overline{1d} + 1 + d = 11$

   $<-> 10 + d + 1 + d = 11$

   $<-> 2d = 0$

   $<-> d = 0$

   Vậy số cần tìm là $2010$.

   Kết luận rằng số cần tìm là $1992, 2010$.

   Bình luận