Tìm tất cả giá trị thực của m để hs y= 1/3x^3 -1/2mx^2+2mx-3m+4 nghịch biến trên một đoạn có độ dài là 3
Tìm tất cả giá trị thực của m để hs y= 1/3x^3 -1/2mx^2+2mx-3m+4 nghịch biến trên một đoạn có độ dài là 3
By Jasmine
By Jasmine
Tìm tất cả giá trị thực của m để hs y= 1/3x^3 -1/2mx^2+2mx-3m+4 nghịch biến trên một đoạn có độ dài là 3
$y’=x^2-mx+2m$
Yêu cầu bài toán tương đương hàm số y’ có $2$ nghiệm phân biệt và cách nhau một đoạn có độ dài là $3$
$↔ \left\{ \begin{array}{l}Δ>0\\|x_{1}-x_{2}|=3\end{array} \right.$
$↔ \left\{ \begin{array}{l}m^2-8m>0\\(x_1-x_2)^2=9\end{array} \right.$
$↔ \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m<0\\m>8\end{array} \right.\\(x_1+x_2)^2-4x_1x_2-9=0\end{array} \right.$
$↔ \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m<0\\m>8\end{array} \right.\\m^2-4.2m-9=0\end{array} \right.$
$↔ \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m<0\\m>8\end{array} \right.\\m^2-8m-9=0\end{array} \right.$
$↔ \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m<0\\m>8\end{array} \right.\\\left[ \begin{array}{l}m=-1\\m=9\end{array} \right.\end{array} \right.$
$↔ \left[ \begin{array}{l}m=-1\\m=9\end{array} \right.$ (thỏa mãn đề bài)
Đáp án:
$m = -1; \, m = 9$
Giải thích các bước giải:
$y = \dfrac{1}{3}x^3 – \dfrac{1}{2}mx^2 + 2mx – 3m + 4$
$TXĐ: D = R$
$y’ = x^2 – mx + 2m$
Hàm số nghịch biến trên một đoạn có độ dài là 3:
$+)$ Hàm số có 2 điểm cực trị
$\Delta > 0 \Leftrightarrow m^2 – 8m > 0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}m > 8\\m < 0\end{array}\right.$
$+)$ Với $x_1, \, x_2$ là hai cực trị, ta có: $|x_2 – x_1| = 3$
$\Leftrightarrow (x_2 – x_1)^2 = 9$
$\Leftrightarrow (x_2 + x_1)^2 – 4x_1x_2 – 9 = 0$ $(*)$
Áp dụng định lý Viète, ta được:
$\begin{cases}x_1 + x_2 = m\\x_1x_2 = 2m\end{cases}$
Thay vào $(*)$ ta được:
$m^2 – 8m – 9 = 0$
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}m = -1 \\m = 9\end{array}\right. \quad (nhận)$
Vậy giá trị m cần tìm là $m = -1$ và $m = 9$