0 bình luận về “Tìm x thuộc z t/m x^2+x-p=0 với p là số nguyên tố”
$x^2+x-p=0$
$\Delta=1+4p$
Để phương trình có nghiệm thì $\Delta>0$
$\Rightarrow 1+4p\ge0$
$\Leftrightarrow p\ge\dfrac{-1}{4}$
Khi đó nghiệm của phương trình là: $x_1=\dfrac{-1+\sqrt{1+4p}}{2}$ và $x_2=\dfrac{1-\sqrt{1+4p}}{2}$
Để nghiệm của phương trình là nghiệm nguyên thì $x_1,x_2\in \mathbb Z$
$\Rightarrow \dfrac{-1\pm\sqrt{1+4p}}{2}\in\mathbb Z$
$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} -1+\sqrt{1+4p}=B(2)=\{0;2;4;6…\} \\ -1-\sqrt{1+4p}=B(2)=\{0;2;4;6;…\} \end{array} \right .$
$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \sqrt{1+4p}=B(2)=\{1;3;5;7…\} \\ \sqrt{1+4p}=B(2)=\{-1;-3;-5;-7;…\} \end{array} \right .$
$\Rightarrow \sqrt{1+4p}=2k+1(k\in\mathbb Z)\Rightarrow p=\dfrac{(2k+1)^2-1}{4}(k\in\mathbb Z)$
mà $p$ là số nguyên tố khi đó chỉ có $k=1$ là thỏa mãn $p=2$ là số nguyên tố.
Khi đó phương trình có nghiệm $x_1=\dfrac{-1+\sqrt{1+4.2}}{2}=1$ và $x_2=-2$.
$x^2+x-p=0$
$\Delta=1+4p$
Để phương trình có nghiệm thì $\Delta>0$
$\Rightarrow 1+4p\ge0$
$\Leftrightarrow p\ge\dfrac{-1}{4}$
Khi đó nghiệm của phương trình là: $x_1=\dfrac{-1+\sqrt{1+4p}}{2}$ và $x_2=\dfrac{1-\sqrt{1+4p}}{2}$
Để nghiệm của phương trình là nghiệm nguyên thì $x_1,x_2\in \mathbb Z$
$\Rightarrow \dfrac{-1\pm\sqrt{1+4p}}{2}\in\mathbb Z$
$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} -1+\sqrt{1+4p}=B(2)=\{0;2;4;6…\} \\ -1-\sqrt{1+4p}=B(2)=\{0;2;4;6;…\} \end{array} \right .$
$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \sqrt{1+4p}=B(2)=\{1;3;5;7…\} \\ \sqrt{1+4p}=B(2)=\{-1;-3;-5;-7;…\} \end{array} \right .$
$\Rightarrow \sqrt{1+4p}=2k+1(k\in\mathbb Z)\Rightarrow p=\dfrac{(2k+1)^2-1}{4}(k\in\mathbb Z)$
mà $p$ là số nguyên tố khi đó chỉ có $k=1$ là thỏa mãn $p=2$ là số nguyên tố.
Khi đó phương trình có nghiệm $x_1=\dfrac{-1+\sqrt{1+4.2}}{2}=1$ và $x_2=-2$.
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
$x^{2}$ + $x – p$ $= 0$ $⇔$ $x$ $(x+1)$ $= p$
mà : $x (x+1)$ là tích 2 số tự nhiên liên tiếp nên $p$ chẵn mà $p$ là số nguyên tố lên $p=2$
$⇒$ $p=2$ $⇔$ $x$$(x+1)$ $= 2$ $⇔$ $x^{2}$ + $x$ + $\dfrac{1}{4}$ = $\dfrac{9}{4}$ $⇔$ ($x$+$\dfrac{1}{2}$)$^{2}$ = $\dfrac{1}{4}$ $⇔$ \(\left[ \begin{array}{l}x+\dfrac{1}{2}=-\dfrac{3}{2}\\x+\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2}\end{array} \right.\) $⇔$ \(\left[ \begin{array}{l}x=-2\\x=1\end{array} \right.\) $Vậy$ : $x$ $∈$ {-2;1}