tìm x,y sao cho: a) A= 2x^2 + 9y^2 – 6xy – 6x – 12y + 2004 có GTNN b) B= -x^2 + 2xy – 4y^2 + 2x +10y -8 có GTLN

Đáp án:

a/ $\text{$MIN_{A}=1975$ khi $x=5$ và $y=\dfrac{7}{3}$}$

b/ $\text{$MAX_{B}=5$ khi $x=3$ và $y=2$}$

Giải thích các bước giải:

a/ $A=2x^2+9y^2-6xy-6x-12y+2004$

$=(9y^2-12y+4)-(6xy-4x)+x^2+x^2-10x+25+1975$

$=(3y-2)^2-2x(3y-2)+x^2+(x-5)^2+1975$

$=(3y-2-x)^2+(x-5)^2+1975$

$\text{Vì $(3y-2-x)^2+(x-5)^2 \geq 0$}$

$\text{nên $(3y-2-x)^2+(x-5)^2+1975 \geq 1975$}$

$\text{Dấu “=” xảy ra khi $\begin{cases}3y-2-x=0 \\x-5=0\end{cases}$}$

$⇔ \begin{cases}x=5 \\y=\dfrac{7}{3}\end{cases}$

$\text{Vậy $MIN_{A}=1975$ khi $x=5$ và $y=\dfrac{7}{3}$}$

b/ $B=-x^2+2xy-4y^2+2x+10y-8$

$=-(x^2-2x+1)+(2xy-2y)-y^2-3y^2+12y-12+5$

$=-(x-1)^2+2y(x-1)-y^2-3(y^2-4y+4)+5$

$=-(x-1-y)^2-3(y-2)^2+5$

$\text{Vì $-(x-1-y)^2-3(y-2)^2 \leq 0$}$

$\text{nên $-(x-1-y)^2-3(y-2)^2+5 \leq 5$}$

$\text{Dấu “=” xảy ra khi $\begin{cases}x-1-y=0 \\y-2=0\end{cases}$}$

$⇔ \begin{cases}x=3 \\y=2\end{cases}$

$\text{Vậy $MAX_{B}=5$ khi $x=3$ và $y=2$}$

Chúc bạn học tốt !!!