tìm x,y sao cho:
a) A= 2x^2 + 9y^2 – 6xy – 6x – 12y + 2004 có GTNN
b) B= -x^2 + 2xy – 4y^2 + 2x +10y -8 có GTLN
tìm x,y sao cho:
a) A= 2x^2 + 9y^2 – 6xy – 6x – 12y + 2004 có GTNN
b) B= -x^2 + 2xy – 4y^2 + 2x +10y -8 có GTLN
Đáp án:
a/ $\text{$MIN_{A}=1975$ khi $x=5$ và $y=\dfrac{7}{3}$}$
b/ $\text{$MAX_{B}=5$ khi $x=3$ và $y=2$}$
Giải thích các bước giải:
a/ $A=2x^2+9y^2-6xy-6x-12y+2004$
$=(9y^2-12y+4)-(6xy-4x)+x^2+x^2-10x+25+1975$
$=(3y-2)^2-2x(3y-2)+x^2+(x-5)^2+1975$
$=(3y-2-x)^2+(x-5)^2+1975$
$\text{Vì $(3y-2-x)^2+(x-5)^2 \geq 0$}$
$\text{nên $(3y-2-x)^2+(x-5)^2+1975 \geq 1975$}$
$\text{Dấu “=” xảy ra khi $\begin{cases}3y-2-x=0 \\x-5=0\end{cases}$}$
$⇔ \begin{cases}x=5 \\y=\dfrac{7}{3}\end{cases}$
$\text{Vậy $MIN_{A}=1975$ khi $x=5$ và $y=\dfrac{7}{3}$}$
b/ $B=-x^2+2xy-4y^2+2x+10y-8$
$=-(x^2-2x+1)+(2xy-2y)-y^2-3y^2+12y-12+5$
$=-(x-1)^2+2y(x-1)-y^2-3(y^2-4y+4)+5$
$=-(x-1-y)^2-3(y-2)^2+5$
$\text{Vì $-(x-1-y)^2-3(y-2)^2 \leq 0$}$
$\text{nên $-(x-1-y)^2-3(y-2)^2+5 \leq 5$}$
$\text{Dấu “=” xảy ra khi $\begin{cases}x-1-y=0 \\y-2=0\end{cases}$}$
$⇔ \begin{cases}x=3 \\y=2\end{cases}$
$\text{Vậy $MAX_{B}=5$ khi $x=3$ và $y=2$}$
Chúc bạn học tốt !!!
Đáp án:
a, Ta có :
`A = 2x^2 + 9y^2 – 6xy – 6x – 12y + 2004 `
` = (x^2 – 6xy + 9y^2) + 4(x – 3y) + 4 + (x^2 – 10x + 25) + 1975`
` = (x – 3y)^2 + 4(x – 3y) + 4 + (x – 5)^2 + 1975`
` = (x – 3y + 2)^2 + (x – 5)^2 + 1975 ≥ 1975`
Dấu “=” xẩy ra
<=> $\left \{ {{x – 3y + 2 = 0} \atop {x – 5 = 0}} \right.$
<=> $\left \{ {{x – 3y = -2} \atop {x=5}} \right.$
<=> $\left \{ {{y=7/3} \atop {x=5}} \right.$
Vậy GTNN của A là `1975 <=> y = 7/3 ; x = 5`
b, Ta có :
`B = -x^2 + 2xy – 4y^2 + 2x + 10y – 8`
` = -(x^2 + y^2 + 1 – 2xy – 2x + 2y) – (3y^2 – 12y + 12) + 5`
` = -[(x^2 – 2xy + y^2) – 2(x – y) + 1] – 3(y^2 – 4y + 4) + 5`
` = -[(x – y)^2 – 2(x – y) + 1] – 3(y – 2)^2 + 5`
` = -(x – y – 1)^2 – 3(y – 2)^2 + 5 ≤ 5`
Dấu “=” xẩy ra
<=> $\left \{ {{x – y – 1 = 0} \atop {y – 2 = 0}} \right.$
<=> $\left \{ {{x = 3} \atop {y = 2}} \right.$
Vậy GTLN của B là `5 <=> x = 3; y = 2`
Giải thích các bước giải: