Tìm x,y thuộc Z thoả mãn : x^3-3x^2+3x=y^3+2y^2+2

0 bình luận về “Tìm x,y thuộc Z thoả mãn : x^3-3x^2+3x=y^3+2y^2+2”

1. Đáp án:$(x, y) = (2;0); (-1;-3);(2;-2)$

    

   Giải thích các bước giải:

   $ PT ⇔ x³ – 3x² + 3x – 1 = y³ + 2y² + 1$

   $ ⇔ (x – 1)³ = y³ + 2y² + 1 (*) > y³ ⇔ x – 1 > y (1)$

   Mặt khác với $∀y :$

   $10y² + 48y + 63 = (\sqrt[]{10}y + \dfrac{12\sqrt[]{10}}{5})² + \dfrac{27}{5} > 0$ 

   Vậy với $∀n ≥ 4 ⇒ y + n ≥ y + 4$

   $ ⇒ (y + n)³ ≥ (y + 4)³ = y³ + 12y² + 48y + 64 $

   $ = y³ + 2y² + 1 + (10y² + 48y + 63) > (x – 1)³$

   $ ⇒ x – 1 < y + 4(2)$

   Từ $(1),(2) : y < x – 1 < y + 4$

   Vì $x, y ∈ Z$ nên chỉ có thể xảy ra các trường hợp :

   $ x – 1 = y + 1; x – 1 = y + 2;x – 1 = y + 3$

   @ Nếu $ x – 1 = y + 1$ thay vào $(*)$

   $ (y + 1)³ = y³ + 2y² + 1 ⇔ y(y + 3) = 0 $

   $ ⇔ y = 0; y = – 3 ⇒ x = 2; x – 1$

   @ Nếu $ x – 1 = y + 2$ thay vào $(*)$

   $ (y + 2)³ = y³ + 2y² + 1 ⇔ 4y² + 12y + 7 = 0 $

   (không có nghiệm nguyên)

   @ Nếu $ x – 1 = y + 3$ thay vào $(*)$

   $ (y + 3)³ = y³ + 2y² + 1 ⇔ 7y² + 27y + 26 = 0 $

   $ ⇔ (y + 2)(7y + 13) = 0 ⇔ y = – 2 ⇒ x = 2 $

   Vậy $PT$ có $3$ nghiệm nguyên là :

   $(x, y) = (2;0); (-1;-3);(2;-2)$

    

   Bình luận