Tìm x,y,z >0 thỏa mãn: $\left \{ {{x^2+y^2+z^2+xyz=4} \atop {(\frac{1}{x^9}+\frac{1}{y^9}+\frac{1}{z^9}).(1+2xyz)=2}} \right.$

Đáp án: Không có x, y, z thỏa mãn

Giải thích các bước giải:

Đặt t = xyz > 0

Từ PT thứ nhất ta có :

4 – t = 4 – xyz = x² + y² + z² ≥ 3∛(x²y²z²) = 3∛t²

⇔ (4 – t)³ ≥ 27t² ⇔ 64 – 48t + 12t² – t³ ≥ 27t²

⇔ t³ + 15t² + 48 – 64 ≤ 0

⇔ (t – 1)(t + 8)² ≤ 0

⇔ 0 < t ≤ 1 (1)

Mặt khác từ PT thứ hai ta có:

2/(1 + 2t) = 2/(1 + 2xyz) = 1/x9 + 1/y9+ 1/z9≥ 3/(x³y³z³) = 3/t³ (2)

Vì 0 < t ≤ 1 nên 1 + 2t > 1 ⇒ 2/(1 + 2t) < 2 và 3/t³ ≥ 3 ⇒ (2) không thể xảy ra