KHÁM PHÁ Học Toán + Tiếng Anh theo Sách Giáo Khoa cùng học online và gia sư dạy kèm tại nhà từ lớp 1 đến lớp 12 với giá cực kỳ ưu đãi kèm quà tặng độc quyền"CỰC HOT".
Lại có: `x,y,z∈ZZ=>2x-y;y-3;z-1∈ZZ`. Mà `(2x-y)^2≥0,3(y-2)^2≥0,4(z-1)^2≥0∀x,y,z`, suy ra phương trình trên là tổng của `3` số chính phương. Ta có thể nghĩ ngay đến việc tách `4=0+0+4=0+1+3`
Dễ thấy `3(y-2)^2=4` thì `(y-2)^2=4/3`. Mà `y` nguyên `=>(y-2)^2` nguyên; `4/3` không nguyên `=>` phương trình không có nghiệm nguyên.
Ta chỉ có thể ghép được `3(y-2)^2=3` vì trong các trường hợp `(2x-y)^2=3` và `4(z-1)^2=3` thì đều không thỏa mãn nghiệm nguyên.
+) Xét trường hợp `1:` `(2x-y)^2=0,3(y-2)^2=0,4(z-1)^2=4`
`<=>y=2; 2x-2=0; z-1=±1`
`=>(x;y;z)∈{(1;2;0),(1;2;2)}.`
+) Xét trường hợp `2:` `(2x-y)^2=4,3(y-2)^2=0,4(z-1)^2=0`
`<=>y=2; z=1;2x-2=±2`
`=>(x;y;z)∈{(0;2;1),(2;2;1)}.`
+) Xét trường hợp `3:` `(2x-y)^2=1,3(y-2)^2=3,4(z-1)^2=0`
`<=> z=1, y-2=±1, 2x-y=±1`
`=>(x;y;z)∈{(2;3;1),(1;3;1);(1;1;1),(0;1;1)}.`
+) Xét trường hợp `4:` `(2x-y)^2=0,3(y-2)^2=3,4(z-1)^2=1`
Có: `4(z-1)^2=1=>(z-1)^2=1/4`
Mà `z∈ZZ=>(z-1)^2∈ZZ=>` phương trình không có nghiệm nguyên.
Vậy nghiệm nguyên của phương trình `(x;y;z)∈{(1;2;0),(1;2;2);(0;2;1),(2;2;1);(2;3;1),(1;3;1);(1;1;1),(0;1;1)}.`
Đáp án:
`(x;y;z)∈{(1;2;0),(1;2;2);(0;2;1),(2;2;1)}.`
Giải thích các bước giải:
Ta có: `x^2+y^2+z^2=xy+3y+2z-3`
`<=>4.(x^2+y^2+z^2)=4.(xy+3y+2z-3)`
`<=>4x^2+y^2+3y^2+4z^2-4xy-12y-8z+12=-12`
`<=>(4x^2-4xy+y^2)+(3y^2-12y+12)+(4z^2-8x+4)=-12+12+4`
`<=>(2x-y)^2+3(y-2)^2+4(z-1)^2=4`
Lại có: `x,y,z∈ZZ=>2x-y;y-3;z-1∈ZZ`. Mà `(2x-y)^2≥0,3(y-2)^2≥0,4(z-1)^2≥0∀x,y,z`, suy ra phương trình trên là tổng của `3` số chính phương. Ta có thể nghĩ ngay đến việc tách `4=0+0+4=0+1+3`
Dễ thấy `3(y-2)^2=4` thì `(y-2)^2=4/3`. Mà `y` nguyên `=>(y-2)^2` nguyên; `4/3` không nguyên `=>` phương trình không có nghiệm nguyên.
Ta chỉ có thể ghép được `3(y-2)^2=3` vì trong các trường hợp `(2x-y)^2=3` và `4(z-1)^2=3` thì đều không thỏa mãn nghiệm nguyên.
+) Xét trường hợp `1:` `(2x-y)^2=0,3(y-2)^2=0,4(z-1)^2=4`
`<=>y=2; 2x-2=0; z-1=±1`
`=>(x;y;z)∈{(1;2;0),(1;2;2)}.`
+) Xét trường hợp `2:` `(2x-y)^2=4,3(y-2)^2=0,4(z-1)^2=0`
`<=>y=2; z=1;2x-2=±2`
`=>(x;y;z)∈{(0;2;1),(2;2;1)}.`
+) Xét trường hợp `3:` `(2x-y)^2=1,3(y-2)^2=3,4(z-1)^2=0`
`<=> z=1, y-2=±1, 2x-y=±1`
`=>(x;y;z)∈{(2;3;1),(1;3;1);(1;1;1),(0;1;1)}.`
+) Xét trường hợp `4:` `(2x-y)^2=0,3(y-2)^2=3,4(z-1)^2=1`
Có: `4(z-1)^2=1=>(z-1)^2=1/4`
Mà `z∈ZZ=>(z-1)^2∈ZZ=>` phương trình không có nghiệm nguyên.
Vậy nghiệm nguyên của phương trình `(x;y;z)∈{(1;2;0),(1;2;2);(0;2;1),(2;2;1);(2;3;1),(1;3;1);(1;1;1),(0;1;1)}.`