tính đạo hàm cấp 100 của hàm số f(x)=x^3 phần căn 3 tất cả x^3 trừ 5x^4 ai giải lẹ 5s là ctlhn 18/10/2021 Bởi Raelynn tính đạo hàm cấp 100 của hàm số f(x)=x^3 phần căn 3 tất cả x^3 trừ 5x^4 ai giải lẹ 5s là ctlhn
Ta có $f(x) = \dfrac{x^3}{\sqrt[3]{x^3 – 5x^4}}$ $= \dfrac{x^3}{x\sqrt[3]{1 – 5x}}$ $ = \dfrac{x^2}{\sqrt[3]{1 – 5x}}$ Đặt $t = \sqrt[3]{1 – 5x}$, suy ra $x = \dfrac{1-t^3}{5}$ Suy ra $f(t) = \dfrac{(1 – t^3)^2}{5t}$ $= \dfrac{t^6 – 2t^3 + 1}{5t}$ $= \dfrac{1}{5} \left( t^5 – 2t^2+ \dfrac{1}{t} \right)$ Ta thấy đa thức bên trong là bậc 5, do đó khi đạo hàm 100 lần nó sẽ triệt tiêu. Vậy ta chỉ quan tâm đến đạo hàm cấp 100 của $\dfrac{1}{t}$ Ta có $\left( \dfrac{1}{t} \right)’ = -\dfrac{1}{t^2}$ $\left( \dfrac{1}{t} \right)” = \dfrac{2 (-1)^2}{t^3}$ $\left( \dfrac{1}{t} \right)^{(3)} = \dfrac{1.2.3(-1)^3}{t^4}$ Do đó $\left( \dfrac{1}{t} \right)^{(n)} = \dfrac{n! (-1)^n}{t^{n + 1}}$ Do đó $\left( \dfrac{1}{t} \right)^{(100)} = \dfrac{100! }{t^{101}}$ Hơn nữa, sau mỗi lần đạo hàm hàm $f(x)$ ta lại phải nhân với $t'(x)$ một lần nữa. Do đó $f^{(100)}(x) = \dfrac{1}{5}. \dfrac{100!}{\sqrt[3]{(1 – 5x)^{101}}} .\left( \dfrac{-5}{3\sqrt[3]{(1 – 5x)^2}} \right)^{100}$ $= \dfrac{100!.5^{99}}{3^{100}\sqrt[3]{(1-5x)^{301}}}$ Vậy $y^{(100)}(x) = \dfrac{100!.5^{99}}{3^{100}(1-5x)^{100}\sqrt[3]{1-5x}}$ Bình luận
Ta có
$f(x) = \dfrac{x^3}{\sqrt[3]{x^3 – 5x^4}}$
$= \dfrac{x^3}{x\sqrt[3]{1 – 5x}}$
$ = \dfrac{x^2}{\sqrt[3]{1 – 5x}}$
Đặt $t = \sqrt[3]{1 – 5x}$, suy ra $x = \dfrac{1-t^3}{5}$
Suy ra
$f(t) = \dfrac{(1 – t^3)^2}{5t}$
$= \dfrac{t^6 – 2t^3 + 1}{5t}$
$= \dfrac{1}{5} \left( t^5 – 2t^2+ \dfrac{1}{t} \right)$
Ta thấy đa thức bên trong là bậc 5, do đó khi đạo hàm 100 lần nó sẽ triệt tiêu. Vậy ta chỉ quan tâm đến đạo hàm cấp 100 của $\dfrac{1}{t}$
Ta có
$\left( \dfrac{1}{t} \right)’ = -\dfrac{1}{t^2}$
$\left( \dfrac{1}{t} \right)” = \dfrac{2 (-1)^2}{t^3}$
$\left( \dfrac{1}{t} \right)^{(3)} = \dfrac{1.2.3(-1)^3}{t^4}$
Do đó
$\left( \dfrac{1}{t} \right)^{(n)} = \dfrac{n! (-1)^n}{t^{n + 1}}$
Do đó
$\left( \dfrac{1}{t} \right)^{(100)} = \dfrac{100! }{t^{101}}$
Hơn nữa, sau mỗi lần đạo hàm hàm $f(x)$ ta lại phải nhân với $t'(x)$ một lần nữa. Do đó
$f^{(100)}(x) = \dfrac{1}{5}. \dfrac{100!}{\sqrt[3]{(1 – 5x)^{101}}} .\left( \dfrac{-5}{3\sqrt[3]{(1 – 5x)^2}} \right)^{100}$
$= \dfrac{100!.5^{99}}{3^{100}\sqrt[3]{(1-5x)^{301}}}$
Vậy
$y^{(100)}(x) = \dfrac{100!.5^{99}}{3^{100}(1-5x)^{100}\sqrt[3]{1-5x}}$