Tính độ cao mà ở đó có gia tốc rơi tự do là 9,65 m/s2 mà độ cao ở đó trọng lượng vật chỉ bằng 2/5 so vs trên mặt đất biết gia tốc rơi tự do ở sát mặt

Đáp án:

\(\begin{array}{l}
 + \,h = 59,4km\\
 + \,h = 3719,3km
\end{array}\)

Giải thích các bước giải:

+ Tính độ cao mà ở đó gia tốc rơi tự do là \(9,65m/{s^2}\):

Ta có gia tốc rơi tự do tại độ cao h và sát mặt đất là:

\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
{g_h} = \frac{{GM}}{{{{\left( {R + h} \right)}^2}}} = 9,65m/{s^2}\\
g = \frac{{GM}}{{{R^2}}} = 9,83m/{s^2}
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow \frac{{{g_h}}}{g} = \frac{{{R^2}}}{{{{\left( {R + h} \right)}^2}}} = \frac{{9,65}}{{9,83}}\\
 \Leftrightarrow 9,83.{R^2} = 9,65.{\left( {R + h} \right)^2}\\
 \Leftrightarrow {9,83.6400^2} = 9,65.{\left( {6400 + h} \right)^2}\\
 \Rightarrow h = 59,4km
\end{array}\)

+ Tính độ cao h mà ở đó trọng lượng vật bằng 2/5 so với trên mặt đất:

Trọng lượng của vật tại độ cao h và sát mặt đất là:

\(\left\{ \begin{array}{l}
{P_h} = m.{g_h} = m.\frac{{GM}}{{{{\left( {R + h} \right)}^2}}}\\
P = mg = m.\frac{{GM}}{{{R^2}}}
\end{array} \right.\)

Theo bài ra ta có:

\(\begin{array}{l}
{P_h} = \frac{2}{5}P \Leftrightarrow m.\frac{{GM}}{{{{\left( {R + h} \right)}^2}}} = \frac{2}{5}.m.\frac{{GM}}{{{R^2}}}\\
 \Leftrightarrow \frac{1}{{{{\left( {R + h} \right)}^2}}} = \frac{2}{5}.\frac{1}{{{R^2}}} \Leftrightarrow 5{R^2} = 2{\left( {R + h} \right)^2}\\
 \Leftrightarrow {5.6400^2} = 2.{\left( {6400 + h} \right)^2}\\
 \Rightarrow h = 3719,3km
\end{array}\)