tính GTNN, GTLN của: `A=x^2+4y^2+6x-4y-2020` `B=x^2+3y^2-2xy+2x-4y+2021`

Đáp án:

Sửa đề câu a

a, Ta có

`A = 2x^2 – 4xy + 4y^2 + 6x – 4y – 2020` 

` = (x^2 – 4xy + 4y^2) + 2(x – 2y) + 1 + (x^2 + 4x + 4) – 2025`

` = (x – 2y)^2 + 2(x – 2y) + 1 + (x + 2)^2 – 2025`

` = (x – 2y + 1)^2 + (x + 2)^2 – 2025`

Do `(x – 2y + 1)^2 ≥ 0`

    `(x + 2)^2 ≥ 0`

` => (x – 2y + 1)^2 + (x + 2)^2 – 2025 ≥ -2025`

Dấu “=” xẩy ra

<=> $\left \{ {{x – 2y + 1 = 0} \atop {x + 2 = 0 }} \right.$ 

<=> $\left \{ {{x – 2y = -1} \atop {x=-2}} \right.$ 

<=> $\left \{ {{y = -1/2} \atop {x=-2}} \right.$ 

Vậy GTNN của A là `-2025` <=> $\left \{ {{y = -1/2} \atop {x=-2}} \right.$ 

b, Ta có

`B = x^2 + 3y^2 – 2xy + 2x – 4y + 2021`

` = (x^2 – 2xy + y^2) + 2(x – y) + 1 + 2y^2 – 2y + 2021`

` = (x – y)^2 + 2(x – y) + 1 + 2(y^2 – 2.y.1/2 + 1/4 – 1/4) + 2021`

` = (x – y + 1)^2 + 2(y – 1/2)^2 – 1/2 + 2021`

` = (x – y + 1)^2 + 2(y – 1/2)^2 + 4041/2`

Do `(x – y + 1)^2 ≥ 0`

      `2(y – 1/2)^2 ≥ 0`

` => (x – y + 1)^2 + 2(y – 1/2)^2 + 4041/2 ≥ 4041/2`

Dấu “=” xẩy ra

<=> $\left \{ {{x – y + 1 = 0} \atop {y – 1/2 = 0}} \right.$ 

<=> $\left \{ {{x – y = -1} \atop {y = 1/2}} \right.$ 

<=> $\left \{ {{x = -1/2} \atop {y = 1/2}} \right.$ 

Vậy GTNN của B là `4041/2 <=> x = (-1)/2 ; y = 1/2`

Giải thích các bước giải: