Tính \(P=\dfrac{xy-\sqrt{x^2-1}\cdot \sqrt{y^2-1}}{xy+\sqrt{x^2-1}\cdot \sqrt{y^2-1}}\) với \(\begin{cases}x=\dfrac 12\cdot \left(a+\dfrac 1a\right)\\

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

Ta có : $x = \dfrac{1}{2}.\bigg(a+\dfrac{1}{a}\bigg) = \dfrac{1}{2}.\dfrac{a^2+1}{a} = \dfrac{a^2+1}{2a}$

$\to x- 1 = \dfrac{(a-1)^2}{2a}; x +1= \dfrac{(a+1)^2}{2a}$

$\to (x-1).(x+1) = \bigg(\dfrac{(a-1).(a+1)}{2a}\bigg)^2$

$\to \sqrt[]{x^2-1} = \dfrac{(a-1).(a+1)}{2a} = \dfrac{a^2-1}{2a}$ với $a>0$

Tương tự ta có : $\sqrt[]{y^2-1} = \dfrac{b-1).(b+1)}{2b} = \dfrac{b^2-1}{2b}$

$\to \sqrt[]{x^2-1}\sqrt[]{y^2-1} = \dfrac{(a^2-1).(b^2-1)}{4ab} = \dfrac{a^2b^2-a^2-b^2+1}{4ab}$

Và : $x.y  = \dfrac{(a^2+1).(b^2+1)}{4ab}$

Khi đó thì : $xy-\sqrt[]{x^2-1}.\sqrt[]{y^2-1} = \dfrac{a^2b^2+a^2+b^2+1-(a^2b^2-a^2-b^2+1)}{4ab}  = \dfrac{a^2+b^2}{2ab}$

$xy+\sqrt[]{x^2-1}.\sqrt[]{y^2-1} = \dfrac{a^2b^2+a^2+b^2+1+(a^2b^2-a^2-b^2+1)}{4ab}  = \dfrac{a^2b^2+1}{2ab}$

Do đó : $P = \dfrac{xy-\sqrt[]{x^2-1}.\sqrt[]{y^2-1}}{xy+\sqrt[]{x^2-1}.\sqrt[]{y^2-1}} = \dfrac{a^2+b^2}{a^2b^2+1}$

P/s : Không chắc chắn lắm …..