Tổng tất cả các giá trị của tham số m để 25^x-(m+1)×5^x+m=0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn x1^2+x2^2=4 bằng
Tổng tất cả các giá trị của tham số m để 25^x-(m+1)×5^x+m=0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn x1^2+x2^2=4 bằng
Lời giải chi tiết:
$25^x-(m+1).5^x+m=0$
$<=>5^{2x}-(m+1).5^x+m=0$(*)
Đặt $t=5^x$,(*) trở thành:
$t^2-(m+1).t+m=0$
Theo hệ thức Viét ,ta có:
$t1.t2=m$
$=>5^{x_{1}}.5^{x_{2}}=m<=>5^{x_{1}+x_{2}}=m$
Ta có:
25x−(m+1)5x+m=0⇔(5x)2−(m+1).5x+m=0⇔[(5x)2−5x]−(m.5x−m)=0⇔5x(5x−1)−m(5x−1)=0⇔(5x−1)(5x−m)=0⇔[5x1=15x2=m(0<m≠1)⇔[x1=05x2=mx12+x22=4⇒x2=±2⇒[m=25m=125(t/m)
Đáp án:
\[\left[ \begin{array}{l}
m = 25\\
m = \frac{1}{{25}}
\end{array} \right.\]
Giải thích các bước giải:
Ta có:
\(\begin{array}{l}
{25^x} – \left( {m + 1} \right){5^x} + m = 0\\
\Leftrightarrow {\left( {{5^x}} \right)^2} – \left( {m + 1} \right){.5^x} + m = 0\\
\Leftrightarrow \left[ {{{\left( {{5^x}} \right)}^2} – {5^x}} \right] – \left( {m{{.5}^x} – m} \right) = 0\\
\Leftrightarrow {5^x}\left( {{5^x} – 1} \right) – m\left( {{5^x} – 1} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left( {{5^x} – 1} \right)\left( {{5^x} – m} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{5^{{x_1}}} = 1\\
{5^{{x_2}}} = m\,\,\,\left( {0 < m \ne 1} \right)
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{x_1} = 0\\
{5^{{x_2}}} = m
\end{array} \right.\\
{x_1}^2 + {x_2}^2 = 4 \Rightarrow {x_2} = \pm 2 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
m = 25\\
m = \frac{1}{{25}}
\end{array} \right.\left( {t/m} \right)
\end{array}\)