trên đồ thị hàm số y= $\dfrac{1}{x-1}$ có M sao cho tiếp tuyến tại đó cùng vs các trục tọa độ tạo thành 1 tam giác có diện tích =2 tọa độ M là?
trên đồ thị hàm số y= $\dfrac{1}{x-1}$ có M sao cho tiếp tuyến tại đó cùng vs các trục tọa độ tạo thành 1 tam giác có diện tích =2 tọa độ M là?
Đáp án:
$M\left(\dfrac34;-4\right)$
Giải thích các bước giải:
$\quad y = f(x) = \dfrac{1}{x-1}$
$\Rightarrow y’ = f'(x) = – \dfrac{1}{(x-1)^2}$
Phương trình tiếp tuyến tại điểm $M(x_o;y_o)$ có dạng:
$(\Delta): y = f'(x_o)(x-x_o) + y_o$
$\Leftrightarrow y = -\dfrac{1}{(x_o-1)^2}(x-x_o) + \dfrac{1}{x_o – 1}$
$\Leftrightarrow y = \dfrac{2x_o – 1 – x}{(x_o-1)^2}$
Gọi $\{A\} = \Delta \cap Ox$
$\Rightarrow A(2x_o-1;0)$
$\Rightarrow OA = |2x_o – 1|$
Gọi $\{B\} = \Delta \cap Oy$
$\Rightarrow B\left(0;\dfrac{2x_o-1}{(x_o-1)^2}\right)$
$\Rightarrow OB = \left|\dfrac{2x_o-1}{(x_o-1)^2}\right|$
Khi đó:
$\quad \dfrac12OA.OB = S_{OAB}$
$\Leftrightarrow \dfrac12|2x_o-1|\cdot \left|\dfrac{2x_o-1}{(x_o-1)^2}\right| = 2$
$\Leftrightarrow \left(\dfrac{2x_o-1}{x_o-1}\right)^2 = 4$
$\Leftrightarrow \left|\dfrac{2x_o-1}{x_o-1}\right| = 2$
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}\dfrac{2x_o-1}{x_o-1} =-2\\\dfrac{2x_o-1}{x_o-1} = 2\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow x_o = \dfrac34$
$\Rightarrow y_o =f\left(\dfrac34\right)= -4$
Vậy $M\left(\dfrac34;-4\right)$