Trên mặt phẳng cho 99 điểm phân biệt sao cho từ 3 điểm bất kì trong số chúng đều tìm được 2 điểm có khoảng cách nhỏ hơn 1. Chứng minh rằng tồn tại một

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

Xét $1$ điểm $O$ là $1$ trong $99$ điểm của đề bài

Vẽ $(O;1)$

Chia $98$ điểm còn lại thành $49$ nhóm, như vậy mỗi nhóm có $2$ điểm

Xét $1$ nhóm có $2$ điểm là $O_1;O_2$

Xét $3$ điểm $O;O_1;O_2$

Theo đề bài, trong $3$ điểm ấy luôn có $2$ điểm có khoảng cách nhỏ hơn $1$

$⇒$ Có ít nhất $1$ điểm cách $O$ khoảng cách nhỏ hơn $1$

Giả sử điểm đó là $O_1$

$⇒OO_1<1⇒O_1∈(O;1)$

Như vậy, trong mỗi nhóm sẽ có ít nhất $1$ điểm thuộc $(O;1)$

Như vậy sẽ tồn tại $1$ hình tròn có bán kính $1$ chứa không ít hơn:

$1.49+1=50$ (điểm)

Đây chính là điều phải chứng minh