Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d) có phương trình y = -x + 2 và điểm M(a; b) thỏa mãn điều kiện M nằm trong góc phần tư (I) và M thuộc đư

Đáp án: $B\ge\dfrac92$

Giải thích các bước giải:

Vì $M\in$ góc phần tư thứ $I\to a>0, b>0$

Ta có $M\in (d)\to b=-a+2\to a+b=2$

Ta có:

$B=\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}+\dfrac{ab}{a^2+b^2}+a^2+b^2$ 

$\to B=\dfrac{a^2+b^2}{ab}+\dfrac{ab}{a^2+b^2}+a^2+b^2$ 

$\to B=\dfrac{3(a^2+b^2)}{4ab}+\dfrac{a^2+b^2}{4ab}+\dfrac{ab}{a^2+b^2}+a^2+b^2$ 

$\to B=\dfrac{3(a^2+b^2)}{4ab}+(\dfrac{a^2+b^2}{4ab}+\dfrac{ab}{a^2+b^2})+(a^2+b^2)$ 

$\to B\ge \dfrac{3\cdot 2ab}{4ab}+2\sqrt{\dfrac{a^2+b^2}{4ab}\cdot\dfrac{ab}{a^2+b^2}}+\dfrac12(a+b)^2$ 

$\to B\ge \dfrac{3\cdot 2ab}{4ab}+2\sqrt{\dfrac{a^2+b^2}{4ab}\cdot\dfrac{ab}{a^2+b^2}}+\dfrac12\cdot 2^2$ vì $a+b=2$

$\to B\ge \dfrac92$

Dấu = xảy ra khi $a=b=1$