Triệu hồi các cao thủ Cho `a,b,c ≥0` và `abc=1` Chứng minh: `1/(2+a)+1/(2+b)+1/(2+c) ≤1` Làm nhiều cách nhất có thể nha

0 bình luận về “Triệu hồi các cao thủ Cho `a,b,c ≥0` và `abc=1` Chứng minh: `1/(2+a)+1/(2+b)+1/(2+c) ≤1` Làm nhiều cách nhất có thể nha”

1. Đáp án:`1/(2+a)+1/(2+b)+1/(2+c)<=1`

   Giải thích các bước giải:

   Đặt `S=1/(2+a)+1/(2+b)+1/(2+c)`

   `=((2+b)(2+c)+(2+a)(2+b)+(2+a)(2+c))/((2+a)(2+b)(2+c))`

   `=(4+2b+2c+bc+4+2a+2b+ab+4+2a+2c+ac)/((4+2a+2b+ab)(2+c))`

   `=(12+4(a+b+c)+ab+bc+ca)/(8+4c+4a+2ac+4b+2bc+2ab+abc)`

   `=(12+4(a+b+c)+ab+bc+ca)/(9+4(a+b+c)+2(ab+bc+ca))(abc=1)`

   Áp dụng BĐT cosi với các số không âm:

   `=>ab+bc+ca>=3`

   `=>9+4(a+b+c)+2(ab+bc+ca)>=12+4(a+b+c)+ab+bc+ca`

   `=>S<=1`

   Dấu “=” xảy ra khi `a=b=c=1`

   Bình luận