Trong không gian Oxyz cho A(0 ; -2 ; -2), B (4; -4 ; 2), C (2; -3 ; 3). Tìm tọa độ M (a;b;c) trên mặt phẳng (Oxz) sao cho biểu thức MA^{2} + MB^{2} + MC^{2} đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó giá trị biểu thức P = a^2 + b^2 + c^2 bằng?
Ai giúp tớ vớiiiii
Sao tính ra vô nghiệm a,c kì quá 🙁
Đáp án: P=5
Giải thích các bước giải:
Vì M thuộc mp (Oxz) nên b=0
Nên ta có:
$\begin{array}{l}
M{A^2} + M{B^2} + M{C^2}\\
= {a^2} + 4 + {\left( {c + 2} \right)^2} + {\left( {a – 4} \right)^2} + 16 + {\left( {c – 2} \right)^2}\\
+ {\left( {a – 2} \right)^2} + 9 + {\left( {c – 3} \right)^2}\\
= 3{a^2} – 12a + 3{c^2} – 6c + 54\\
= 3\left( {{a^2} – 4a + 4} \right) + 3\left( {{c^2} – 2.c + 1} \right) + 39\\
= 3{\left( {a – 2} \right)^2} + 3{\left( {c – 1} \right)^2} + 39 \ge 39\\
\Rightarrow GTNN:M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} = 39\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = 2\\
c = 1
\end{array} \right.\\
P = {a^2} + {b^2} + {c^2} = 5
\end{array}$