Trong mặt phẳng Oxy, cho 3 điểm A(1;3); B(-5;6); C(0;1)
a) Chứng minh 3 điểm A, B, C tạo thành một tam giác. Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC
b) Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành
c) Tìm tọa độ điểm H là chân đường cao kẻ từ A đến BC. Tính diện tích tam giác ABC
a,
\(\begin{array}{l}
\overrightarrow {AB} = ( – 6;3) \to AB = 3\sqrt 5 \\
\overrightarrow {AC} = ( – 1; – 2) \to AC = \sqrt 5 \\
\overrightarrow {BC} = (5; – 5) \to BC = 5\sqrt 2
\end{array}\)
Có: \(BC + CA = 5\sqrt 2 + \sqrt 5 > AB = 3\sqrt 5 \)
⇒ 3 điểm A, B, C tạo thành Δ
$x_G=\dfrac{x_A+x_B+x_C}3=\dfrac{1+(-5)+0}{3}$
$y_G=\dfrac{y_A+y_B+y_C}3$
⇒ \(G(\dfrac{{ – 4}}{3};\dfrac{{10}}{3})\)
b. Giả sử `D(x;y)`
ABCD là hình bình hành
⇒\(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \)
Có: \(\overrightarrow {DC} = ( – x;1 – y)\)
\(\overrightarrow {AB} = ( – 6;3)\)
\( \begin{cases}x = 6\\1 – y = 3\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x = 6\\y = – 2\end{cases}\)
`⇒D(6;-2)`
c. Giả sử: `H(a;b)`
Có: \(\begin{array}{l}
\overrightarrow {AH} = (a – 1;b – 3)\\
\overrightarrow {BC} = (5; – 5)
\end{array}\)
$H$ là chân đường cao kẻ từ `A` đến `BC`
nên $AH\bot BC$
`⇒5.(a-1)-5.(b-3)=0⇒a-b=-2` (1)
Phương trình đường thẳng BC qua `C(0;1)` và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = (5;5)\)
`5x+5(y-1)=0⇒x+y=1`
Do `H∈BC ⇒a+b=1` (2)
Từ (1) và (2) ⇒\(H(\dfrac{{ – 1}}{2};\dfrac{3}{2})\)
Diện tích `ΔABC = 15/2` (Theo công thức Herong $S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(b-c)}$ trong đó $p$ là chu vi của tam giác, $a,b,c$ là độ dài ba cạnh của tam giác)