Trong mặt phẳng $ Oxy $ cho $ \Delta :x-y+1=0 $ và hai điểm $ A\left( 2;1 \right),\,B\left( 9;6 \right) $ . Điểm $ M\left( a;b \right) $ nằm trên $ \Delta $ sao cho $ MA+MB $ nhỏ nhất. Tính $ a+b $
Trong mặt phẳng $ Oxy $ cho $ \Delta :x-y+1=0 $ và hai điểm $ A\left( 2;1 \right),\,B\left( 9;6 \right) $ . Điểm $ M\left( a;b \right) $ nằm trên $ \Delta $ sao cho $ MA+MB $ nhỏ nhất. Tính $ a+b $
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Xét vị trí tương đối của hai điểm $ A,B $ và đường thẳng $ \Delta $ .
$ \left( 2-1+1 \right)\left( 9-6+1 \right)=8 > 0 $ nên hai điểm $ A,B $ nằm cùng phía nhau so với đường thẳng $ \Delta $ .
Gọi $ A’ $ là điểm đối xứng với $ A $ qua đường thẳng $ \Delta $ và $ H $ là giao điểm của $ \text{A{A}’} $ và $ \Delta $ , $ I $ là giao điểm của $ {A}’B $ và $ \Delta $ .
Ta có $ MA+MB=M{A}’+MB\ge {A}’B $ . Dấu “=” xảy ra khi $ M\equiv I $ .
Phương trình $ A{A}’:x+y-3=0 $
Tọa độ điểm $ H $ là nghiệm của hệ phương trình: $ \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} x+y=3 \\ x-y=-1 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} x=1 \\ y=2 \end{array} \right.\Leftrightarrow H(1;2) $
$ H $ là trung điểm của $ \text{A{A}’} $ nên $ {A}'(0;3) $
Phương trình $ {A}’B:x-3y+9=0 $
Tọa độ điểm $ I $ là nghiệm của hệ phương trình: $ \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} x-3y=-9 \\ x-y=-1 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} x=3 \\ y=4 \end{array} \right.\Leftrightarrow I(3;4) $ .
Ta tìm được $ a=3;b=4 $ nên $ a+b=7 $ .
MA+MB≥AB -> MA+MB min =AB-> A,B,M thẳng hàng => MA=kMB
M∈Δ-> a-b+1=0-> a=b-1
MA(3-b;1-b) MB(10-b;6-b)
=> 3-b=k(1-b)=> k=$\frac{3-b}{1-b}$
10-b=k(6-b)
=> 10-b=$\frac{3-b}{1-b}$(6-b)
=> 10-b-10b+b²=18-6b-3b+b²
=> -2b=8=> b=-4 => k=$\frac{7}{5}$
=> M(-5;-4)->a+b=-9