Trong mặt phẳng toạ độ cho E(2m-1 ; 3m+2) a)Tìm tập hợp các điểm E b)Tìm m để OE nhỏ nhất

Đáp án:

a)Gọi pt đường thẳng đi qua E với mọi m có dạng: y=a.x+b

$\begin{array}{l}
 \Rightarrow {y_E} = a.{x_E} + b\forall m\\
 \Rightarrow 3m + 2 = a.\left( {2m – 1} \right) + b\forall m\\
 \Rightarrow \left( {3 – 2a} \right).m =  – a + b – 2\forall m\\
 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
3 – 2a = 0\\
 – a + b – 2 = 0
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = \dfrac{3}{2}\\
b = a + 2
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = \dfrac{3}{2}\\
b = \dfrac{7}{2}
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow y = \dfrac{3}{2}x + \dfrac{7}{2}
\end{array}$

Vậy tập hợp điểm E là đường thẳng có pt: $y = \dfrac{3}{2}x + \dfrac{7}{2}$

$\begin{array}{l}
b)OE = \sqrt {{{\left( {2m – 1} \right)}^2} + {{\left( {3m + 2} \right)}^2}} \\
 \Rightarrow O{E^2} = 4{m^2} – 4m + 1 + 9{m^2} + 12m + 4\\
 = 13{m^2} + 8m + 5\\
 = 13.\left( {{m^2} + \dfrac{8}{{13}}m} \right) + 5\\
 = 13.\left( {{m^2} + 2.\dfrac{4}{{13}}m + \dfrac{{16}}{{169}}} \right) – 13.\dfrac{{16}}{{169}} + 5\\
 = 13.{\left( {m + \dfrac{4}{{13}}} \right)^2} + \dfrac{{49}}{{13}} \ge \dfrac{{49}}{{13}}\\
 \Rightarrow O{E^2} \ge \dfrac{{49}}{{13}}\\
 \Rightarrow OE \ge \dfrac{{7\sqrt {13} }}{{13}}\left( {do:OE > 0} \right)\\
 \Rightarrow GTNN:OE = \dfrac{{7\sqrt {13} }}{{13}}\\
Khi:m = \dfrac{{ – 4}}{{13}}
\end{array}$