Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): y =2(m-1)x-(m^2-2m)
và đường Parabol (P):
y=x^2.
a)Tìm m để (d) đi qua gốc toạ độ 0.
b)Tìm toạ độ giao diểm của (d) và (P) khi m=3.
c)Tìm m sao cho (d) cắt (P) tại hai điểm có tung đo y1 và y2 thoả mãn | y1 – y2 |= 8
Đáp án:
a) \(\left[ \begin{array}{l}
m = 0\\
m = 2
\end{array} \right.\)
Giải thích các bước giải:
a) Để (d) đi qua gốc tọa độ
⇒ Thay x=0 và y=0 vào (d) ta được
\(\begin{array}{l}
0 = 2\left( {m – 1} \right).0 – {m^2} + 2m\\
\to – {m^2} + 2m = 0\\
\to \left[ \begin{array}{l}
m = 0\\
m = 2
\end{array} \right.
\end{array}\)
b) Thay m=3
Phương trình hoành độ giao điểm của 2 đường thẳng là
\(\begin{array}{l}
{x^2} = 4x – 3\\
\to {x^2} – 4x + 3 = 0\\
\to \left( {x – 3} \right)\left( {x – 1} \right) = 0\\
\to \left[ \begin{array}{l}
x = 3\\
x = 1
\end{array} \right. \to \left[ \begin{array}{l}
y = 9\\
y = 1
\end{array} \right.
\end{array}\)
⇒ (3;9) và (1;1) là tọa độ giao điểm của 2 đường thẳng với m=3
c) Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là
\(\begin{array}{l}
{x^2} = 2\left( {m – 1} \right)x – {m^2} + 2m\\
\to {x^2} – 2\left( {m – 1} \right)x + {m^2} – 2m = 0\\
Xét:\Delta ‘ \ge 0\\
\to {m^2} – 2m + 1 – {m^2} + 2m \ge 0\\
\to 1 \ge 0\left( {ld} \right)
\end{array}\)
Có:
\(\begin{array}{l}
\left| {{y_1} – {y_2}} \right| = 8\\
\to \left| {{x_1}^2 – {x_2}^2} \right| = 8\\
\to {x_1}^4 – 2{x_1}^2{x_2}^2 + {x_2}^4 = 64\\
\to {x_1}^4 + 2{x_1}^2{x_2}^2 + {x_2}^4 – 4{x_1}^2{x_2}^2 = 64\\
\to {\left( {{x_1}^2 + {x_2}^2} \right)^2} – 4{x_1}^2{x_2}^2 = 64\\
\to {\left( {{x_1}^2 + {x_2}^2 + 2{x_1}{x_2} – 2{x_1}{x_2}} \right)^2} – 4{\left( {{x_1}{x_2}} \right)^2} = 64\\
\to {\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} – 2{x_1}{x_2}} \right]^2} – 4{\left( {{x_1}{x_2}} \right)^2} = 64\\
\to {\left[ {{{\left( {2m – 2} \right)}^2} – 2\left( {{m^2} – 2m} \right)} \right]^2} – 4{\left( {{m^2} – 2m} \right)^2} = 64\\
\to {\left( {4{m^2} – 8m + 4 – 2{m^2} + 4m} \right)^2} – 4{\left( {{m^2} – 2m} \right)^2} = 64\\
\to {\left( {2{m^2} – 4m + 4} \right)^2} – 4{\left( {{m^2} – 2m} \right)^2} = 64\\
\to \left( {2{m^2} – 4m + 4 – 2{m^2} + 4m} \right)\left( {2{m^2} – 4m + 4 + 2{m^2} – 4m} \right) = 64\\
\to 4\left( {4{m^2} – 8m + 4} \right) = 64\\
\to {\left( {2m – 2} \right)^2} = 16\\
\to \left| {2m – 2} \right| = 4\\
\to \left[ \begin{array}{l}
2m – 2 = 2\\
2m – 2 = – 2
\end{array} \right.\\
\to \left[ \begin{array}{l}
m = 2\\
m = 0
\end{array} \right.
\end{array}\)