Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): y=2mx-2m+3(m là tham số)
a,CMR (P) và (d) luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt với mọi m
b, gọi y1,y2 là các tung đôh giao điểm của P và d, tìm giá trị nguyên lớn nhất của m để y1+y2<9
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): y=2mx-2m+3(m là tham số)
a,CMR (P) và (d) luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt với mọi m
b, gọi y1,y2 là các tung đôh giao điểm của P và d, tìm giá trị nguyên lớn nhất của m để y1+y2<9
Đáp án:
b) m=1
Giải thích các bước giải:
a) Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P)
\(\begin{array}{l}
{x^2} = 2mx – 2m + 3\\
\to {x^2} – 2mx + 2m – 3 = 0\left( 1 \right)
\end{array}\)
Để (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt
⇔ Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt
\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow {m^2} – 2m + 3 > 0\\
\to {m^2} – 2m + 1 + 2 > 0\\
\to {\left( {m – 1} \right)^2} + 2 > 0\left( {ld} \right)\forall m\\
\to dpcm
\end{array}\)
b) Có:
\(\begin{array}{l}
{y_1} + {y_2} < 9\\
\to {x_1}^2 + {x_2}^2 < 9\\
\to {x_1}^2 + {x_2}^2 + 2{x_1}{x_2} – 2{x_1}{x_2} < 9\\
\to {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} – 2{x_1}{x_2} < 9\\
\to 4{m^2} – 2\left( {2m – 3} \right) < 9\\
\to 4{m^2} – 4m + 6 < 9\\
\to 4{m^2} – 4m – 3 < 0\\
\to \left( {2m – 3} \right)\left( {2m + 1} \right) < 0\\
\to \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
2m – 3 > 0\\
2m + 1 < 0
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
2m – 3 < 0\\
2m + 1 > 0
\end{array} \right.
\end{array} \right. \to \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
m > \dfrac{3}{2}\\
m < – \dfrac{1}{2}
\end{array} \right.\left( l \right)\\
\left\{ \begin{array}{l}
m < \dfrac{3}{2}\\
m > – \dfrac{1}{2}
\end{array} \right.
\end{array} \right.\\
\to Maxm = 1
\end{array}\)
Đáp án:
a ) Xét phương trình hoành độ giao điểm của d và P :
x² = 2mx-2m+3
=> x² – 2mx + 2m- 3 = 0
Ta có : Δ’ = ( -m )² – ( 2m – 3 ) = m² -2m + 3
=> Δ ‘ = ( m – 1 )² +2 > 0 , ∀m
=> (P) và (d) luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt với mọi m
b ) Áp dụng hệ thức vi – ét cho phương trình :
$\left \{ {{x1 + x2 = 2m} \atop {x1.x2=2m-3}} \right.$
Do y = x² => y1 = x1² , y2 = x2²
Theo bài ra :
y1+y2<9
=> x1² + x2² < 9
=> ( x1 + x2 )² – 2×1.x2 < 9
=> ( 2m )² – 2.( 2m – 3 ) < 9
=> 4m² – 4m + 6 – 9 < 0
=> 4m² – 4m – 3 < 0
=> 4m² + 2m – 6m -3 < 0
=> 2m.(2m + 1 ) – 3.( 2m + 1 ) < 0
=> ( 2m – 3 ) . ( 2m + 1 ) < 0
Đến đây bạn xét 2 trường hợp là :
$\left \{ {{2m – 3 < 0} \atop {2m + 1 > 0}} \right.$ và $\left \{ {{2m – 3 >0} \atop {2m + 1 < 0}} \right.$
Do mình không biết cách trình bày 2 hệ trên cùng 1 lúc ấy , nên bạn thông cảm nha.
Đến đấy thì ta được kết quả là : $\frac{-1}{2}$ < m < $\frac{3}{2}$
Vậy m nguyên Max = 1