Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P) có phương trình y= $\frac{1}{2}$ $x^{2}$ và đường thẳng (d) có phương trình y= -mx +3-m (với m là tham s

0 bình luận về “Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P) có phương trình y= $\frac{1}{2}$ $x^{2}$ và đường thẳng (d) có phương trình y= -mx +3-m (với m là tham s”

1. Đáp án:

    

   Giải thích các bước giải:

    Xét hoành độ giao điểm `(d)` và `(P)` có;

   `1/2 x^2=-mx+3-m`

   `⇔ 1/2 x^2+mx+m-3=0`

   `⇔ x^2+2mx+2m-6=0`

   `Δ’=(m)^2-1.(2m-6)`

   `Δ’=m^2-2m+6`

   `Δ’=(m-1)+5 \ge 5 ∀m`

   `⇒` PT luốn có 2 nghiệm pb

   `⇒` (d) luôn cắt `(P)` tại 2 điểm pb

   Theo Vi-et, ta có:

   \(\begin{cases} x_{1}+x_{2}=-2m\\x_{1}x_{2}=2m-6\end{cases}\)

   `x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=2x_{1}x_{2}+20`

   `⇔ (x_1+x_2)-2x_{1}x_{2}-2x_{1}x_{2}-20=0`

   `⇔ (x_1+x_2)-4x_{1}x_{2}-20=0`

   `⇔ (-2m)^2-4(2m-6)-20=0`

   `⇔ 4m^2-8m+24-20=0`

   `⇔ 4m^2-8m+4=0`

   `⇔ 4(m-1)^2=0`

   `⇔ m=1`

   Vậy `m=1` thì PT thỏa mãn `x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=2x_{1}x_{2}+20`

   Bình luận

2. Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là:

   $\frac{1}{2}$$x^{2}$ = -mx + 3 – m

   ⇔ $\frac{1}{2}$$x^{2}$ + mx + m – 3 = 0

   Ta có: Δ = $m^{2}$ – 4.$\frac{1}{2}$.(m-3)

   = $m^{2}$ – 2m + 6

   = $(m-1)^{2}$ + 5

   Vì $(m-1)^{2}$ ≥ 0 với mọi m ⇒ $(m-1)^{2}$ + 5 > 0 với mọi m

   ⇒ Phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt

   ⇒ đpcm

   Theo hệ thức Vi-ét ta có:

   $\left \{ {{x_{1}+x{2}=-2m} \atop {x_{1}.x_{2}=2m-6}} \right.$ (*)

    Lại có

   $x_{1}^{2}$ + $x_{2}^{2}$ = 2$x_{1}$.$x_{2}$ + 20

   ⇔ $x_{1}^{2}$ + $x_{2}^{2}$ – 2$x_{1}$.$x_{2}$ = 20

   ⇔ $x_{1}^{2}$ +2$x_{1}$.$x_{2}$ + $x_{2}^{2}$ – 4.$x_{1}$.$x_{2}$ = 20

   ⇔ $(x_{1}+x_{2})^{2}$ – 4.$x_{1}$.$x_{2}$ = 20

   Thay (*) vào biểu thức ta có:

   $(-2m)^{2}$ – 4.(2m-6) = 20

   ⇔ $4m^{2}$ – 8m + 24 = 20

   ⇔ $4m^{2}$ – 8m + 4 = 0

   Giải phương tính có $m_{1}$ = $m_{2}$ = 1 

   Vậy khi m = 1 thì $x_{1}^{2}$ + $x_{2}^{2}$ = 2$x_{1}$.$x_{2}$ + 20

   Bình luận