Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P) có phương trình y= $\frac{1}{2}$ $x^{2}$ và đường thẳng (d) có phương trình y= -mx +3-m (với m là tham số)
– Chứng minh rằng đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại 2 điểm phân biệt. Gọi x1, x2 lần lượt là hoành độ của 2 điểm A,B. Tìm m để $x1^{2}$ + $x2^{2}$ = 2x1x2 + 20
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P) có phương trình y= $\frac{1}{2}$ $x^{2}$ và đường thẳng (d) có phương trình y= -mx +3-m (với m là tham s
By Rylee
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Xét hoành độ giao điểm `(d)` và `(P)` có;
`1/2 x^2=-mx+3-m`
`⇔ 1/2 x^2+mx+m-3=0`
`⇔ x^2+2mx+2m-6=0`
`Δ’=(m)^2-1.(2m-6)`
`Δ’=m^2-2m+6`
`Δ’=(m-1)+5 \ge 5 ∀m`
`⇒` PT luốn có 2 nghiệm pb
`⇒` (d) luôn cắt `(P)` tại 2 điểm pb
Theo Vi-et, ta có:
\(\begin{cases} x_{1}+x_{2}=-2m\\x_{1}x_{2}=2m-6\end{cases}\)
`x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=2x_{1}x_{2}+20`
`⇔ (x_1+x_2)-2x_{1}x_{2}-2x_{1}x_{2}-20=0`
`⇔ (x_1+x_2)-4x_{1}x_{2}-20=0`
`⇔ (-2m)^2-4(2m-6)-20=0`
`⇔ 4m^2-8m+24-20=0`
`⇔ 4m^2-8m+4=0`
`⇔ 4(m-1)^2=0`
`⇔ m=1`
Vậy `m=1` thì PT thỏa mãn `x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=2x_{1}x_{2}+20`
Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là:
$\frac{1}{2}$$x^{2}$ = -mx + 3 – m
⇔ $\frac{1}{2}$$x^{2}$ + mx + m – 3 = 0
Ta có: Δ = $m^{2}$ – 4.$\frac{1}{2}$.(m-3)
= $m^{2}$ – 2m + 6
= $(m-1)^{2}$ + 5
Vì $(m-1)^{2}$ ≥ 0 với mọi m ⇒ $(m-1)^{2}$ + 5 > 0 với mọi m
⇒ Phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt
⇒ đpcm
Theo hệ thức Vi-ét ta có:
$\left \{ {{x_{1}+x{2}=-2m} \atop {x_{1}.x_{2}=2m-6}} \right.$ (*)
Lại có
$x_{1}^{2}$ + $x_{2}^{2}$ = 2$x_{1}$.$x_{2}$ + 20
⇔ $x_{1}^{2}$ + $x_{2}^{2}$ – 2$x_{1}$.$x_{2}$ = 20
⇔ $x_{1}^{2}$ +2$x_{1}$.$x_{2}$ + $x_{2}^{2}$ – 4.$x_{1}$.$x_{2}$ = 20
⇔ $(x_{1}+x_{2})^{2}$ – 4.$x_{1}$.$x_{2}$ = 20
Thay (*) vào biểu thức ta có:
$(-2m)^{2}$ – 4.(2m-6) = 20
⇔ $4m^{2}$ – 8m + 24 = 20
⇔ $4m^{2}$ – 8m + 4 = 0
Giải phương tính có $m_{1}$ = $m_{2}$ = 1
Vậy khi m = 1 thì $x_{1}^{2}$ + $x_{2}^{2}$ = 2$x_{1}$.$x_{2}$ + 20