Trong mặt phẳng toa độ Oxy cho parabol(P): y=x^2 và đường thẳng (d): y=kx+1.
1:Chứng minh rằng đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt với mọi k
2: gia sử (d) cắt (P) tại E và F, gọi hoành độ của E và F lần lượt là x và y. Tính M= |x – y|
Giải bài này hộ tui với
Đáp án:
`2)` `M=\sqrt{k^2+4}`
$\\$
Giải thích các bước giải:
`1)` Phương trình hoành độ giao điểm của `(d)y=kx+1` và $(P)y=x ^2$ là:
`\qquad kx+1=x^2`
`<=>x^2-kx-1=0` $(1)$
`∆=b^2-4ac`
`∆=(-k)^2-4.1.(-1)`
`∆=k^2+4\ge 4>0` với mọi $k$
`=>` Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt
`=>` Đường thẳng `(d)` luôn cắt parabol $(P)$ tại hai điểm phân biệt
$\\$
`2)` Với `x;y` là hoành độ giao điểm của $(d)$ và $(P)$
`=>x;y` là hai nghiệm của phương trình $(1)$
Theo hệ thức Viet ta có:
`x+y={-b}/a=k`
`xy=c/a=-1`
Ta có:
`\qquad (x-y)^2=x^2-2xy+y^2`
`=x^2+2xy+y^2-4xy`
`=(x+y)^2-4xy`
`=k^2-4.(-1)=k^2+4\ge 4>0` với mọi $k$
`=>|x-y|=\sqrt{k^2+4}`
Vậy `M=|x-y|=\sqrt{k^2+4}`