Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho Parabol (P) y =x² và đưong thắng (d) y= 2mx-2m+1.
a) Với giá trị nào của m thì d tiếp xúc với (P)? Khi đó hãy tìm toa độ tiếp điểm.
b) Tìm m để (d) và (P) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt: A(x1;y1); B(x2;y2) sao cho tổng các
tung độ của hai giao điểm bằng 2
Phương trình hoành độ giao điểm:
$x^2-2mx+2m-1=0$
$\Delta’= m^2-2m+1= (m-1)^2$
a,
(P) tiếp xúc (d) khi $\Delta’=0$
$\Leftrightarrow m=1$
$x=\frac{-b’}{a}= -1$
$\Rightarrow y=x^2=1$
Vậy toạ độ giao điểm là $(-1;1)$
b,
(P) cắt (d) tại hai điểm phân biệt khi $\Delta’>0$
$\Leftrightarrow m\neq 1$
Theo Viet:
$x_1+x_2=2m$
$x_1x_2=2m-1$
$\Rightarrow y_1+y_2= x_1^2+x_2^2= (x_1+x_2)^2-2x_1x_2=2$
$\Rightarrow 4m^2-2(2m-1)=2$
$\Leftrightarrow 4m^2-4m=0$
$\Leftrightarrow m=0; m=1$
$m\neq 1\Rightarrow m=0$
phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d):
x²=2mx-2m+1
<=>x²-2mx+2m-1=0 (1)
ta có: Δ’=m²-(2m-1)
=m²-2m+1
=(m-1)²
a) (d) tiếp xúc với (P)<=>pt (1) có nghiệm kép<=>Δ’=0
<=>(m-1)²=0
<=>m-1=0
<=>m=1
với m=1 thì pt(1)<=>x²-2x+1=0
<=>(x-1)²=0
<=>x-1=0
<=>x=1
=>y=x²=1
tọa độ tiếp điểm (1;1)
b) (P) và (d) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt
<=>Δ’>0
<=>(m-1)²>0∀m$\neq$1
theo viet ta có: x1+x2=2m
x1.x2=2m-1
lại có A(x1,y1)∈(P)=>y1=x1²
B(x2,y2)∈(P)=>y2=x2²
theo bài ra: y1+y2=2
=>x1²+x2²=2
<=>(x1+x2)²-2×1.x2=2
<=>4m²-2.(2m-1)-2=0
<=>4m²-4m=0
<=>4m.(m-1)=0
<=>\(\left[ \begin{array}{l}m=0(TM)\\m=1(KTM)\end{array} \right.\)
vậy m=0