trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác ABC có trọng tâm G(0,4), C(-2,-4). Biết trung điểm M của BC nằm trên đường thẳng có phương trình: x+y-2=0. Tìm toạ độ điểm M để AB có đọ dài ngắn nhất.
trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác ABC có trọng tâm G(0,4), C(-2,-4). Biết trung điểm M của BC nằm trên đường thẳng có phương trình: x+y-2=0. Tìm toạ độ điểm M để AB có đọ dài ngắn nhất.
Đáp án: $M(- \frac{1}{4}; \frac{9}{4})$
Giải thích các bước giải:
Gọi $N$ là trung điểm $CA$, gọi $E(x_{E}; y_{E}) = CG∩MN ⇒ E$ cố định và $E$ chia trong đoạn $CG$ theo tỷ số $CE/GE = 3 ⇔$
$⇔\left \{ {{\frac{x_{E} – (- 2)}{x_{E} – 0} = – 3 ⇔ x_{E} = – \frac{1}{2}} \atop {\frac{y_{E} – (- 4)}{x_{E} – 4} = – 3 ⇔ y_{E} = 2}} \right.$
Gọi $M(x_{M}; y_{M}) ∈ (d): x + y – 2 = 0 ⇒ y_{M} – 2 = – x_{M}$
$ ⇒ EM² = (x_{M} + \frac{1}{2})² + (y_{M} – 2)² = (x_{M} + \frac{1}{2})² + (- x_{M})² = 2x²_{M} + x_{M} + \frac{1}{4} = 2(x_{M} + \frac{1}{4})² + \frac{3}{16} ≥ \frac{3}{16}$
Vì $AB//MN$ và $AB = 2MN = 4EM$ nên $AB$ ngắn nhất $⇔ EM$ ngắn nhất $⇔ EM²$ ngắn nhất $ = \frac{3}{16}$
$ ⇔ x_{M} + \frac{1}{4} =0 ⇔ x_{M} = – \frac{1}{4} ⇒ y_{M} = 2 – x_{M} = \frac{9}{4}$
Vậy tọa độ $M$ cần tìm là : $M(- \frac{1}{4}; \frac{9}{4})$ ( Khi đó $EM ⊥ (d)$)