Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): x²+y²-4x-2y-1=0 và đường thẳng d: x+y+1=0. Tìm những điểm M thuộc đường thẳng d sao cho từ điểm M kẻ được đến (C) 2 tiếp tuyến hợp với nhau góc 90°
A. $M_{1}$(-$\sqrt{2}$; $\sqrt{2}$-1) hoặc $M_{2}$($\sqrt{2}$; -$\sqrt{2}$-1)
B. $M_{1}$(-$\sqrt{2}$; $\sqrt{2}$+1) hoặc $M_{2}$($\sqrt{2}$; -$\sqrt{2}$+1)
C. $M_{1}$($\sqrt{2}$; $\sqrt{2}$-1) hoặc $M_{2}$($\sqrt{2}$; -$\sqrt{2}$-1)
D. $M_{1}$(-$\sqrt{2}$; $\sqrt{2}$-1) hoặc $M_{2}$($\sqrt{2}$; $\sqrt{2}$+1)
${x^2} + {y^2} – 4x – 2y – 1 = 0 \Leftrightarrow {\left( {x – 2} \right)^2} + {\left( {y – 1} \right)^2} = 6 \Rightarrow I\left( {2;1} \right),R = \sqrt 6$
Do M thuộc d nên ta có $M\left( {t; – 1 – t} \right)$
Vì từ M kẻ đến (C) hai tiếp tuyến vuông góc với nhau thì tứ giác MAIB là hình vuông (với A,B là hai tiếp điểm)
Từ đó ta có:
\[AB = MI = IA\sqrt 2 = \sqrt 6 .\sqrt 2 = 2\sqrt 3 \]
Ta có
$\begin{array}{l} MI = \sqrt {{{\left( {2 – t} \right)}^2} + \left( {2 + {t^2}} \right)} = 2\sqrt 3 \\ \Leftrightarrow 2{t^2} + 8 = 12 \Leftrightarrow {t^2} = 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = \sqrt 2 \Rightarrow M\left( {\sqrt 2 ; – 1 – \sqrt 2 } \right)\\ t = – \sqrt 2 \Rightarrow M\left( { – \sqrt 2 ; – 1 + \sqrt 2 } \right) \end{array} \right. \end{array}$
Chọn A