Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC với 2 trung điểm AN: x+y-2=0, BM: 7x+y-6=0, đỉnh B(1;-1), biết tam giác ABC có diện tích là 2

Giao điểm của $AN$ và $BM$ chính là trọng tâm của $\Delta ABC$

$\left\{ \begin{array}{l} x + y – 2 = 0\\ 7x + y – 6 = 0 \end{array} \right. \Rightarrow G\left( {\dfrac{2}{3};\dfrac{4}{3}} \right)$

Từ đó ta có:

$\begin{array}{l} \overrightarrow {BG}  = 2\overrightarrow {GM} \\  \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \dfrac{{ – 1}}{3} = 2\left( {{x_M} – 1} \right)\\ \dfrac{7}{3} = 2\left( {{y_M} + 1} \right) \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_M} = \dfrac{5}{6}\\ {y_M} = \dfrac{1}{6} \end{array} \right. \Rightarrow M\left( {\dfrac{5}{6};\dfrac{1}{6}} \right)\\ A \in AN \Rightarrow A\left( {a;2 – a} \right)\\  \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_C} = 2{x_M} – {x_A} = \dfrac{5}{3} – a\\ {y_C} = 2{y_M} – {y_A} = a – \dfrac{5}{3} \end{array} \right. \Rightarrow C\left( {\dfrac{5}{3} – a;a – \dfrac{5}{3}} \right) \end{array}$

Áp dụng công thức tính diện tích tam giác khi biết ba điểm:

$\begin{array}{l} S = \dfrac{1}{2}\left| {\left( {{x_B} – {x_A}} \right)\left( {{y_C} – {y_A}} \right) – \left( {{x_C} – {x_A}} \right)\left( {{y_B} – {y_A}} \right)} \right| = 2\\  \Rightarrow \left| {\left( {{x_B} – {x_A}} \right)\left( {{y_C} – {y_A}} \right) – \left( {{x_C} – {x_A}} \right)\left( {{y_B} – {y_A}} \right)} \right| = 4\\  \Leftrightarrow \left| {\left( {1 – a} \right)\left( {a – \dfrac{5}{3} – 2 + a} \right) – \left( {\dfrac{5}{3} – a – a} \right)\left( { – 1 – \left( {2 – a} \right)} \right)} \right| = 4\\  \Leftrightarrow \left| {\left( {1 – a} \right)\left( {2a – \dfrac{{11}}{3}} \right) – \left( {\dfrac{5}{3} – 2a} \right)\left( {a – 3} \right)} \right| = 4\\  \Leftrightarrow \left| {2a – \dfrac{{11}}{3} – 2{a^2} + \dfrac{{11}}{3}a – \left( {\dfrac{5}{3}a – 5 – 2{a^2} + 6a} \right)} \right| = 4\\  \Leftrightarrow \left| { – 2a + \dfrac{4}{3}} \right| = 4\\  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}  – 2a + \dfrac{4}{3} = 4\\  – 2a + \dfrac{4}{3} =  – 4 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} a =  – \dfrac{8}{3}\\ a = \dfrac{8}{3} \end{array} \right.\\  \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} A\left( { – \dfrac{8}{3};\dfrac{{14}}{3}} \right) \Rightarrow C\left( {\dfrac{{13}}{3};3} \right)\\ A = \left( {\dfrac{8}{3}; – \dfrac{2}{3}} \right) \Rightarrow C\left( { – 1;\dfrac{{ – 7}}{3}} \right) \end{array} \right. \end{array}$