Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC với 2 trung điểm AN: x+y-2=0, BM: 7x+y-6=0, đỉnh B(1;-1), biết tam giác ABC có diện tích là 2. Xác định tọa độ các điểm A,C của tam giác ABC.
Giúp em với ạ!
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC với 2 trung điểm AN: x+y-2=0, BM: 7x+y-6=0, đỉnh B(1;-1), biết tam giác ABC có diện tích là 2. Xác định tọa độ các điểm A,C của tam giác ABC.
Giúp em với ạ!
Giao điểm của $AN$ và $BM$ chính là trọng tâm của $\Delta ABC$
$\left\{ \begin{array}{l} x + y – 2 = 0\\ 7x + y – 6 = 0 \end{array} \right. \Rightarrow G\left( {\dfrac{2}{3};\dfrac{4}{3}} \right)$
Từ đó ta có:
$\begin{array}{l} \overrightarrow {BG} = 2\overrightarrow {GM} \\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \dfrac{{ – 1}}{3} = 2\left( {{x_M} – 1} \right)\\ \dfrac{7}{3} = 2\left( {{y_M} + 1} \right) \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_M} = \dfrac{5}{6}\\ {y_M} = \dfrac{1}{6} \end{array} \right. \Rightarrow M\left( {\dfrac{5}{6};\dfrac{1}{6}} \right)\\ A \in AN \Rightarrow A\left( {a;2 – a} \right)\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_C} = 2{x_M} – {x_A} = \dfrac{5}{3} – a\\ {y_C} = 2{y_M} – {y_A} = a – \dfrac{5}{3} \end{array} \right. \Rightarrow C\left( {\dfrac{5}{3} – a;a – \dfrac{5}{3}} \right) \end{array}$
Áp dụng công thức tính diện tích tam giác khi biết ba điểm:
$\begin{array}{l} S = \dfrac{1}{2}\left| {\left( {{x_B} – {x_A}} \right)\left( {{y_C} – {y_A}} \right) – \left( {{x_C} – {x_A}} \right)\left( {{y_B} – {y_A}} \right)} \right| = 2\\ \Rightarrow \left| {\left( {{x_B} – {x_A}} \right)\left( {{y_C} – {y_A}} \right) – \left( {{x_C} – {x_A}} \right)\left( {{y_B} – {y_A}} \right)} \right| = 4\\ \Leftrightarrow \left| {\left( {1 – a} \right)\left( {a – \dfrac{5}{3} – 2 + a} \right) – \left( {\dfrac{5}{3} – a – a} \right)\left( { – 1 – \left( {2 – a} \right)} \right)} \right| = 4\\ \Leftrightarrow \left| {\left( {1 – a} \right)\left( {2a – \dfrac{{11}}{3}} \right) – \left( {\dfrac{5}{3} – 2a} \right)\left( {a – 3} \right)} \right| = 4\\ \Leftrightarrow \left| {2a – \dfrac{{11}}{3} – 2{a^2} + \dfrac{{11}}{3}a – \left( {\dfrac{5}{3}a – 5 – 2{a^2} + 6a} \right)} \right| = 4\\ \Leftrightarrow \left| { – 2a + \dfrac{4}{3}} \right| = 4\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} – 2a + \dfrac{4}{3} = 4\\ – 2a + \dfrac{4}{3} = – 4 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} a = – \dfrac{8}{3}\\ a = \dfrac{8}{3} \end{array} \right.\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} A\left( { – \dfrac{8}{3};\dfrac{{14}}{3}} \right) \Rightarrow C\left( {\dfrac{{13}}{3};3} \right)\\ A = \left( {\dfrac{8}{3}; – \dfrac{2}{3}} \right) \Rightarrow C\left( { – 1;\dfrac{{ – 7}}{3}} \right) \end{array} \right. \end{array}$